On the integration of the partial differential equation \( \frac{\partial^2 u} {\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=0 \).
type: Item
instance of: scholarly article
title: On the integration of the partial differential equation \( \frac{\partial^2 u} {\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=0 \).
zbMATH Open document ID: 04.0193.02
published in: Journal für die Reine und Angewandte Mathematik
publication date: 1872-01-01T00:00:00Z
full work available at URL: https://www.digizeitschriften.de/dms/resolveppn/
full work available at URL: https://eudml.org/doc/148178
review text: Veranlasst durch die Arbeit des Herrn Prym in Borchardt's J. LXXIII. 340 (siehe F. d. M. III. 182, JFM 03.0182.01) über die Existenz einer der Differential-Gleichung \(\varDelta u\)=0 genügenden Function, deren Werthe innerhalb einer einfachen Kreisfläche \(S\), den Rand einbegriffen, endlich und stetig, längs des Randes aber gegeben sind, läst Herr Schwarz zunächst seine denselben Gegenstand behandelnde Arbeit aus Wolf's J. XV. 113 (siehe F. d. M. II. 214, JFM 02.0214.01) hier noch einmal abdrucken. Die dieser Arbeit hinzugefügten Anmerkungen beziehen sich zum Theil auf die verwandten Arbeiten von C. Neumann (Clebsch Ann. III. 325 und Leipz. Ber. 1870, 264; siehe F. d. M. III. 491, JFM 03.0491.01) und betreffen die von Letzterem für die Function verlangte ``gleichmässige'' Stetigkeit und die Existenz der Ableitung \(\frac{\partial ^2 u}{\partial x \partial y} \) für das Innere des betrachteten Gebietes; zum Theil enthalten sie historische Notizen über andere verwandte Arbeiten von Green, Betti, Dini, Poisson, C. Neumann, Schläfli, Heine und Prym. Es folgt eine ``Fortsetzung und Erweiterung der in den vorhergehenden Paragraphen enthaltenen Betrachtungen.'' Nach einer Bemerkung über die Veränderung der angegebenen Formeln für den Fall eines Kreises mit dem Radius \(R\) wird die vorhergehende Untersuchung dahin erweitert, dass die Function \(f(\varphi)\) nicht mehr für alle reellen Werthe von \(\varphi\) endlich, stetig, eindeutig und mit der Periode 2\(\pi\) periodisch ist, sondern dass diejenigen Werthe von \(\varphi\), welche einem der Werthe \(\varphi_1, \varphi_2,\cdots \varphi_m\) (die sämmtlich verschieden und \(< 2\pi\)) congruent mod. \(2\pi\) sind, ausgenommen werden, so dass sich \(f(\varphi)\) einer bestimmten endlichen Grenze nähert, wenn \(\varphi\) sich einem der ausgeschlossenen Werthe nähert; und die Function \(u^*\) stimmt am Rande mit Ausnahme einer endlichen Anzahl von Punkten mit \(f(\varphi)\) überein. Der Beweis der Gleichung \[ u^*(r,\varphi)=\…
Mathematics Subject Classification ID: 35E99
zbMATH DE Number: 2719071
zbMATH Keywords: Dirichlet problem
MaRDI profile type: Publication
OpenAlex ID: W1986736751
Wikidata QID: Q110503951
DOI: 10.1515/CRLL.1872.74.218
author: Hermann Schwarz
description: scientific article; zbMATH DE number 2719071