Theory of waves and eddies propagating along a horizontal rectangular channel, communicating to the liquid in the channel approximately the same velocities from surface to bottom.
type: Item
instance of: scholarly article
title: Theory of waves and eddies propagating along a horizontal rectangular channel, communicating to the liquid in the channel approximately the same velocities from surface to bottom.
zbMATH Open document ID: 04.0493.04
author: J. Boussinesq
published in: Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. 2. Série
publication date: 1872-01-01T00:00:00Z
full work available at URL: https://eudml.org/doc/234248
full work available at URL: bpt6k164163.f00000063
review text: Ueber einen Theil der vorliegenden Arbeit ist bereits im vorigen Jahresbericht (F. d. M. III. p. 486-487, JFM 03.0486.02) nach einem in den Comptes rendus enthaltenen Auszuge berichtet. Wir knüpfen an jenen Bericht, in dem die zu Grunde gelegten Voraussetzungen und die Methode der Entwickelung angegeben sind, an, indem wir nur bemerken, dass es dort p. 486 in der letzten Zeile heissen muss: auf einer Verticalen \(y=\) const., während \(x\) der horizontalen Länge des Kanals parallel ist. Bezeichnet \(H\) die constante Kanaltiefe, \(h\) die (sehr kleine) Erhebung der Welle über dem ursprünglichen Niveau, \(g\) die Constante der Schwerkraft, so führt jene Methode in erster Annäherung auf die Differentialgleichung: \[ \frac{ \partial^2 h}{ \partial t^2} =gH\;\frac{ \partial^2 h}{ \partial x^2}, \] während die weitere Annäherung ergiebt: \[ (1) \quad \frac{ \partial ^2 h}{ \partial t^2} =gH \frac{ \partial^2 h}{ \partial x^2} +gH \frac{ \partial^2}{ \partial x^2} \left( \frac{ 3h^2}{ 2H} +\frac{ H^2}{3} \frac{ \partial^2 h}{ \partial x^2} \right). \] Hierzu kommt für die Fortpflanzungsgeschwindigkeit \(w\) die Gleichung: \[ (2) \quad \frac{ \partial h}{ \partial t} +\frac{ \partial (hw)}{ \partial x} =0. \] Letztere Gleichung drückt aus, dass jedes Element der Welle beim Fortschreiten dasselbe Volumen behält. Aus diesen Gleichungen wird nun mit Vernachlässigung aller Glieder, die die vorliegende Näherung übersteigen, folgende Relation abgeleitet: \[ (3) \quad h( w- \sqrt{gH} ) -\frac{ \sqrt{gH}}{2} \left( \frac{3h^2}{ 2H} +\frac{H^2}{3}\;\frac{ \partial ^2 h}{ \partial x^2} \right) =\chi (x +t\sqrt{ gH}), \] wo \(\chi\) eine willkürliche Function bezeichnet. Nimmt man nun in Bezug auf den Anfangszustand an, dass für \(t=0 h\) und seine Ableitung nach \(x\) verschwinden für alle positiven \(x\), so ist für alle Theilchen, die dem vorderen Ende der fortschreitenden Wellenerhebung nahe sind, \(\chi=0\), und aus der Gleichung (3) folgt für die Fortpflanzungsgeschwindigkeit e…
Mathematics Subject Classification ID: 76D33
zbMATH DE Number: 2719622
zbMATH Keywords: Fluid-Dynamics
zbMATH Keywords: Wave
zbMATH Keywords: Vorticity
zbMATH Keywords: Channel
zbMATH Keywords: Flow
MaRDI profile type: Publication
description: scientific article; zbMATH DE number 2719622