Theory of waves and eddies propagating along a horizontal rectangular channel, communicating to the liquid in the channel approximately the same velocities from surface to bottom.
Ueber einen Theil der vorliegenden Arbeit ist bereits im vorigen Jahresbericht (F. d. M. III. p. 486-487, JFM 03.0486.02) nach einem in den Comptes rendus enthaltenen Auszuge berichtet. Wir knüpfen an jenen Bericht, in dem die zu Grunde gelegten Voraussetzungen und die Methode der Entwickelung angegeben sind, an, indem wir nur bemerken, dass es dort p. 486 in der letzten Zeile heissen muss: auf einer Verticalen \(y=\) const., während \(x\) der horizontalen Länge des Kanals parallel ist. Bezeichnet \(H\) die constante Kanaltiefe, \(h\) die (sehr kleine) Erhebung der Welle über dem ursprünglichen Niveau, \(g\) die Constante der Schwerkraft, so führt jene Methode in erster Annäherung auf die Differentialgleichung: \[ \frac{ \partial^2 h}{ \partial t^2} =gH\;\frac{ \partial^2 h}{ \partial x^2}, \] während die weitere Annäherung ergiebt: \[ (1) \quad \frac{ \partial ^2 h}{ \partial t^2} =gH \frac{ \partial^2 h}{ \partial x^2} +gH \frac{ \partial^2}{ \partial x^2} \left( \frac{ 3h^2}{ 2H} +\frac{ H^2}{3} \frac{ \partial^2 h}{ \partial x^2} \right). \] Hierzu kommt für die Fortpflanzungsgeschwindigkeit \(w\) die Gleichung: \[ (2) \quad \frac{ \partial h}{ \partial t} +\frac{ \partial (hw)}{ \partial x} =0. \] Letztere Gleichung drückt aus, dass jedes Element der Welle beim Fortschreiten dasselbe Volumen behält. Aus diesen Gleichungen wird nun mit Vernachlässigung aller Glieder, die die vorliegende Näherung übersteigen, folgende Relation abgeleitet: \[ (3) \quad h( w- \sqrt{gH} ) -\frac{ \sqrt{gH}}{2} \left( \frac{3h^2}{ 2H} +\frac{H^2}{3}\;\frac{ \partial ^2 h}{ \partial x^2} \right) =\chi (x +t\sqrt{ gH}), \] wo \(\chi\) eine willkürliche Function bezeichnet. Nimmt man nun in Bezug auf den Anfangszustand an, dass für \(t=0 h\) und seine Ableitung nach \(x\) verschwinden für alle positiven \(x\), so ist für alle Theilchen, die dem vorderen Ende der fortschreitenden Wellenerhebung nahe sind, \(\chi=0\), und aus der Gleichung (3) folgt für die Fortpflanzungsgeschwindigkeit eines Elements der Welle: \[ (3a) \quad w^2 =g\; \left(H +\frac{ 3h}{2} +\frac{H^2}{ 3h}\;\frac{\partial^2h}{ \partial x^2} \right), \] so dass die Fortpflanzungsgeschwindigkeit auch von der Krümmung der freien Oberfläche abhängt. Es folgen nun noch einige Umformungen der Gleichung (2) für \(h\), ferner die Formeln, durch welche bei der hier durchgeführten Näherung die Geschwindigkeiten und der Druck bestimmt werden. Der folgende Abschnitt behandelt die Bewegung des Schwerpunkts der ganzen Welle. Das Quadrat der Fortpflanzungsgeschwindigkeit dieses Punktes ist \(=g(H+ 3\eta)\), wo \(\eta\) die Höhe des Schwerpunktes über dem ursprünglichen Niveau ist; \(\eta\) ist constant, so dass der Schwerpunkt sich auf einer geraden Linie bewegt. - Von besonderem Interesse ist diejenige Welle, bei der alle Theilchen sich mit gleicher Geschwindigkeit fortpflanzen (so dass \(w\) constant ist), und die bei ihrer Fortpflanzung nahezu dieselbe Form behält (onde solitaire). Die freie Oberfläche dieser Welle wird bestimmt durch die Gleichung \[ h= \frac{4h_1}{ 2+e^{ \scriptstyle \sqrt{ \frac{3h_1}{H^3}} (x-wt)} +e^{ \scriptstyle -\sqrt{ \frac{ 3h_1}{ H^3}} (x-wt)} }, \] wenn \(w^2 =g (H+h_1)\) der constante Werth von \(w\) ist. Der Schwerpunkt dieser Welle liegt in \(\tfrac{1}{3}\) ihrer Höhe. Moment der Instabilität nennt ferner der Verfasser folgendes Integral: \[ M=\int^{\infty}_{x_0} \left[ \left(\frac{ \partial h}{ \partial x}\right)^2 -\frac{3h^3}{ H^3} \right] dx. \] Dasselbe ist ein Minimum für die onde solitaire. Für irgend eine andere Welle kann der Ueberschuss des wirklichen Werthes von \(M\) über den Minimalwerth betrachtet werden als Maass der Abweichung der Gestalt dieser Welle von der onde solitaire, sowie auch als Maass für die Deformation, welche die Welle bei ihrer Fortpflanzung erleidet. Weitere Discussionen und Erläuterungen der obigen Formeln bilden den Schluss der Arbeit.
scientific article; zbMATH DE number 2719622