Sopra gli spazi di un numero qualunque di dimensioni.
type: Item
instance of: scholarly article
title: Sopra gli spazi di un numero qualunque di dimensioni.
zbMATH Open document ID: 03.0301.01
DOI: 10.1007/BF02420029
published in: Annali di Matematica Pura ed Applicata. II. Serie
publication date: 1870-01-01T00:00:00Z
review text: Das Hauptaugenmerk ist die analytische Bestimmung der Beziehungen der in einander enthaltenen Räume gleicher und verschiedener Dimensionszahl; es folgen alsdann noch zwei Theoreme. Der Raum von \(n\) Dimensionen \(S_{n}\) ist die \(n\)fache Mannichfaltigkeit des Systems variabler Coordinaten \(z_{1}, z_{2}, \cdots z_{n}\), welche als rechtwinklig aufzufassen sind. Diese Bestimmung ist offenbar nicht ausreichend, da eine \(n\)fache Mannichfaltigkeit eines Systems von mehr als \(n\) Variabeln auch ein Raum von \(n\) Dimensionen heisst, der definirte also nur den ebenen Raum bezeichnet. Im folgenden wird \(n\) als feststehende Anzahl der Variabeln überall vorausgesetzt. Ein specielles Werthsystem bestimmt einen Punkt in \(S_{n}, m\) Gleichungen einen in \(S_{n}\) enthaltenen Raum von \(n-m\) Dimensionen. Der Raum \(S_{n-1}\), bestimmt durch \[ F(z_{1}, z_{2}, \cdots z_{n})=0, \] theilt \(S_{n}\) in zwei Regionen \(F<0\) und \(F>0\). Eine solche Region heisst zusammenhängend, wenn man von jedem Punkte derselben zum andern stetig übergehn kann, ohne dass \(F=0\) wird. Macht man die \(z\) zu Functionen von \(n-1\) Parametern \(u_{1}, u_{2}, \cdots u_{n-1}\), setzt \[ \varDelta = \left|\begin{matrix} A_1 \;\frac{dz_1}{du_1} & \frac{dz_1}{du_2} &\cdots &\frac{dz_1}{du_{n- 1}}\\ \\ A_2 \;\frac{dz_2}{du_1} & \frac{dz_2}{du_2} & \cdots & \frac{dz_2}{du_{n-1}}\\ \quad \vdots & & &\vdots \\ \\ A_n \;\frac{dz_n}{du_1} & \frac{dz_n}{du_2} & \cdots & \frac{dz_n}{du_{n-1}}\end{matrix}\right|\,, \] \[ \mu^{2} = \sum_{m=1}^{m=n} \left(\frac{dF}{dz_{m}}\right)^{2}; \quad M^{2} = \sum_{m=1}^{m=n} \left(\frac{d\varDelta}{dA_{m}}\right)^{2}, \] so erhält man: \[ \frac{dF}{dz_{m}} = \frac{\mu}{M}\;\frac{d\varDelta}{dA_{m}}. \] Variirt nun ein Punkt mit einem Parameter \(t\) längs einer Linie, die \(S_{n-1}\) schneidet, und giebt man von einem Schnittpunkt an gerechnet dem \(t\) das Inerement \(\delta t\), so ergiebt sich aus dieser Formel die Relation: \[ dF = \frac{\mu D}{M}\delta t, \] w…
zbMATH DE Number: 2720399
MaRDI profile type: Publication
full work available at URL: https://doi.org/10.1007/bf02420029
OpenAlex ID: W2068309230
author: Enrico Betti
description: scientific article; zbMATH DE number 2720399