Studies on Bessel functions.
Die beiden uns vorliegenden Abhandlungen (siehe auch JFM 01.0139.02) schliessen mit der folgenden Heines die Reihe der Untersuchungen ab, welche bisher über die Bessel'schen Functionen veröffentlicht sind, und bringen die Reichhaltigkeit ihrer Beziehungen unter sich und zu andern Functionen auf eine solche Höhe, dass Lommel wohl nicht Unrecht haben dürfte, wenn er in seinem Vorwort sagt: `` Diese Transcendenten, theoretisch äusserst interessant, scheinen berufen, auch in den Anwendungen des Calculs eine immer wichtigere Rolle zu spielen; ja es dürfte kaum zu gewagt erscheinen, denselben in dieser Hinsicht gleich nach den goniometrischen Functionen ihren Platz anzuweisen.'' --- In Absicht auf solche Anwendungen hat er denn auch die von Hansen berechneten Tafeln seiner Abhandlung angehängt. Zur Orientirung über die frühere Literatur geben wir das von Neumann aufgestellte Verzeichniss wieder: ``Fourier: Th'eorie de la chaleur. S. 369. (1823). Poisson: Sur la distribution de la chaleur dans les corps solides. (J. de l'Ec. Polyt., Cah. 19. S. 349. (1822).) Bessel: Untersuchung des Theils der planetarischen Störungen, welcher aus der Bewegung der Sohne entsteht. (Berl. Abh. (1824)). Jacobi: Formula transformationis integralium definitorum. (Crelle J. XV. S. 13. (1836).) Hansen: Ermittlung der absoluten Störungen in Ellipsen von beliebiger Excentricität und Neigung. Erster Theil (Schriften der Sternwarte Seeburg. Gotha, 1843.) Anger: Untersuchungen über die Function \(J_{k}^{h}\), mit Anwendungen auf das Kepler'sche Problem. (Danzig, 1855.) Schlömilch: Über die Bessel'sche Function. (Schlömilch Z. II. S. 137. (1857).) Lipschitz: Über die Bessel'sche Transcendente \(J\). (Borchardt J. LVI. S. 189. (1859).) C. Neumann: Über die Theorie der Wärme und Electricität. (Borchardt J. LXII. S. 42. (1863).)'' Was nun die in der Ueberschrift genannten Abhandlungen von Neumann und von Lommel betrifft, so ist in der Grundlage ihrer Untersuchungen kein wesentlicher Unterschied zu finden, in so fern beide die Function \(J\) durch ein bestimmtes Integral definiren, welches bei Neumann \[ \begin{multlined} J^{n}(z)=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}\cos(z\sin\omega-n\omega)d\omega\\ =\frac{z^{n}}{1.3.5\ldots (2n-1)}\cdot \frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi} \cos(z\cos\omega)\sin^{2n}\omega d\omega,\end{multlined} \] und bei Lommel \[ J^{\nu}(z)=\frac{1}{\sqrt{\pi}}\cdot \frac{z_{\nu}}{2^{\nu} \varGamma (\nu+\frac{1}{2})} \int_{0}^{\pi}\cos(z\cos\omega)\sin^{2\nu}\omega d\omega \] lautet. Das letztere geht offenbar für ein ganzes positives \(\nu\) in das erstere über, kennzeichnet aber von vorn herein die Absicht Lommels, für den Parameter \(\nu\) jeden reellen Werth zu gestatten, während Neumann keine anderen, als ganze positive Parameter in Aussicht nimmt. Die Stellung beider Autoren zum Gegenstande der Untersuchung ist also zunächst diese, dass Neumann an dem von Bessel gegebenen Ausdrucke stricte festhält, während Lommel ein grösseres Terrain zu gewinnen sucht. Eine weitere Uebereinstimmung beider besteht ferner darin, dass sie die Bessel'sche Differentialgleichung \[ \frac{d^{2}F}{dz^{2}}+\tfrac{1}{2}\;\frac{dF}{dz}+\left(1-\frac{\nu^{2}}{z^{2}}\right)F=0, \] welcher die obigen Integrale genügen, im Grunde nur gelegentlich berücksichtigen, obschon sich ihre Bedeutung bei Lommel so weit gesteigert hat, dass er mit dem Namen einer Bessel'schen Function zweiter Art nicht die von Neumann gewählte Function \(O\), sondern die Function \(Y\) belegen zu müssen glaubt, welche bei einem ganzen \(\nu\) als ein zweites partikuläres Integral jener Gleichung auftritt. Die beiden partikulären Integrale derselben zur Definition für die beiden Bessel'schen Functionen zu wählen, ist für Neumann augenscheinlich deshalb ein fernliegender Gedanke, weil ihn als Hauptresultat seiner Arbeit vornehmlich der Satz interessirt, dass jede Function, welche in einem um \(z=0\) gezogenen Kreise synektisch ist, innerhalb desselben durch die Reihe \[ f(t)=\sum_{n=0}^{n=\infty}\limits J^{n}(t)\cdot\frac{\varepsilon_{n}}{2\pi i}\int f(z)O^{n}(z)dz \] dargestellt wird \((\varepsilon_{0}=1,\;\;\varepsilon_{1}=\varepsilon_{2}=\varepsilon_{3}=\ldots =2)\), welche auch nach \(t\) differentiirt werden darf. In diesem Satze nämlich, welcher darauf basirt, dass \[ \frac{1}{y-x}=\sum_{n=U}^{n=\infty}\limits \varepsilon_{n}J^{n}(x)O^{n}(y)\text{ für mod.}y>\text{mod.}x \] ist, springt die Analogie mit dem Heine'schen Satze über die Entwicklung nach Kugelfunctionen, durch welche ausgedrückt \[ \frac{1}{y-x}=\sum_{n=0}^{n=\infty}\limits (2n+1)P^{n}(x)Q^{n}(y) \] ist, zu sehr hervor, um es dem Entdecker verargen zu können, dass er bei der Wahl der Nomenclatur vielmehr diese Analogie, als die eigenthümliche Natur der Function \(J\) im Auge hat. Die von ihm aus diesem Beweggrunde als Bessel'sche Function zweiter Art bezeichnete Function ist eine rationale algebraische \((n+1)^{\text{ten}}\) Grades von \(\frac{1}{z}\) und wird definirt durch die endliche Reihe \[ O^{n}(z)=\frac{1}{z}\left[1+\frac{n^{2}}{z^{2}}+\frac{n^{2}(n^{2}-2^{2})}{z^{4}}+\frac{n^{2}(n^{3}-2^{2})(n^{2}-4^{2})}{z^{6}}+\cdots \right] \] für ein grades \(n\), und durch \[ O^{n}(z)= \] \[ \frac{n}{z^{2}}\left[1+\frac{n^{2}-1^{2}}{z^{2}}+\frac{(n^{2}-1^{2})(n^{2}-3^{2})}{z^{4}}+\frac{(n^{2}-1^{2})(n^{2}-3^{2})(n^{2}-5^{2})}{z^{6}}+\cdots \right] \] für ein ungrades \(n\); sie genügt der Differentialgleichung \[ \frac{d^{2}F}{dz^{2}}+\frac{3}{z}\;\frac{dF}{dz}+\left(1-\frac{n^{2}-1)}{z^{2}}\right)F=g_{n}, \] wo \[ g_{2m}=\frac{1}{z},\qquad g_{2m+1}=\frac{2m+1}{z^{2}} \] genommen werden muss, und hat demnach in mancher Beziehung einen bei graden und ungraden \(n\) verschiedenen Charakter. Im weiteren Verlauf der Abhandlung folgt ausser Relationen zwischen den Bessel'schen Functionen die vollständige Integration der Bessel'schen Differentialgleichung und Untersuchungen über die Gleichung \[ \frac{\partial^{2}U}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}U}{\partial y^{2}}\pm k^{2}U=0, \] welche u. A. zu folgenden Resultaten führen: ``Setzt man \[ R=\sqrt{(x-x_{1})^{2}+(y-y_{1})^{2}}, \] wo die \(x\) und die \(y\) reell sein sollen, so genügen \(J^{0}(R)\) und \(Y^{0}(R)\) der Differentialgleichung \(\frac{\partial^{2}U}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}U}{\partial y^{2}}+U=0.\)'' (\(\S\). 22.) ``Für eine beliebig gegebene Elementarfläche existirt immer eine Function \(U\), welche sammt ihren ersten Ableitungen \[ \frac{\partial U}{\partial x},\quad \frac{\partial U}{\partial y} \] innerhalb der Fläche stetig ist, welche ferner innerhalb der Fläche der Differentialgleichung \[ \frac{\partial^{2}U}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}U}{\partial y^{2}}-k^{2}U=0 \] Genüge leistet, und welche endlich am Rande der Fläche beliebig vorgeschriebene Werthe besitzt''. (\(\S\).24.) --- In einer Anmerkung wird hierzu bemerkt, dass ein analoger Satz bei dem entgegengesetzten Vorzeichen von \(k^{2}\) nicht zu existiren scheine. Wenden wir uns jetzt im Speziellen zum Abhandlung Lommels, so tritt uns wegen des in ihr eingenommenen, oben von uns angedeuteten Standpunktes die Frage entgegen, welcher Anlass die Definition der Functionen \(J\) und \(Y\) direct durch die Bessel'sche Differentialgleichung verhindert und dafür diejenige durch das bestimmte Integral gefordert haben mag, d. i. eine Definition, welche manche Unbequemlichkeit und Weitschweifigkeit in den Deductionen zur Folge hat, einfache Erscheinungsformen der Bessel'schen Differentialgleichung als überraschende Relationen zwischen den \(J\) und den \(Y\) mit verschiedenem Parameter auftreten lässt, die Nichtbeachtung der complexen Parameter \(\nu\) veranlasst, endlich nur für die negativen \(\nu\) gilt, welche zwischen 0 und \(-\frac{1}{2}\) liegen, so dass für die übrigen eine neue Definition ersonnen werden muss (\(\S\)4), welche auf dem Postulat der Allgemeinheit der Relationen beruht, ähnlich wie die Definition der positiven und negativen oder der complexen Grössen in der Arithmetik. Die Antwort auf diese Frage scheint uns dadurch gegeben, dass die benutzte Form der Bessel'schen Differentialgleichung, in welcher der Parameter nur im Quadrat vorkommt, eine Unterscheidung des positiven vom negativen \(\nu\) als paradox erscheinen lässt, und dass eine andere Form, auf welche die von Lommel zur allgemeinen Definition der \(J\) als Fundamentalrelationen benutzten Gleichungen übrigens unmittelbar hinweisen, für diesen Zweck nicht gesucht wurde. Substituirt man nämlich \[ z=z_{1}^{\frac{1}{2}},\quad F=z^{\nu}F_{1}^{(\nu)}=z_{1}^{\frac{\nu}{2}}F_{1}^{(\nu)}, \] so nimmt die Bessel'sche Differentialgleichung folgende Gestalt an: \[ 4z_{1}\frac{d^{2}F_{1}^{(\nu)}}{dz_{1}^{2}}+4(\nu +1)\frac{dF_{1}^{(\nu)}}{dz_{1}}+F_{1}^{(\nu)}=0, \] welche vor der andern nicht bloss den Vorzug grösserer Einfachheit besitzt, sondern auch den, dass sich gleiche Werthe des allgemeinen oder der partikulären Integrale bei verschiedenen \(\nu\) nicht mehr vermuthen lassen. Vor allen Dingen aber ergeben sich die wichtigsten Relationen zwischen den allgemeinen oder partikulären Integralen der Gleichung ohne Weiteres. Denn differentiirt man von Neuem, so folgt: \[ 4z_{1}\frac{d^{2}F_{1}^{(\nu)}}{dz_{1}^{3}}+4(\nu +2)\frac{d^{2}F_{1}^{(\nu)}}{dz_{1}^{2}}+\frac{dF_{1}^{(\nu)}}{dz_{1}}=0, \] was die wichtige Gleichung \[ \frac{dF_{1}^{(\nu)}}{dz_{1}}=\text{const. } F_{1}^{(\nu+1)}, \] oder wenn man dem Gebrauche gemäss die willkürliche Constante \(=-\frac{1}{2}\) setzt, die Gleichung \[ \frac{dF_{1}^{(\nu)}}{dz_{1}}=-\frac{1}{2}F_{1}^{\nu+1} \] verificirt. Diese hat in Verbindung mit der ersteren sofort \[ z_{1}F_{1}^{(\nu +2)}-2(\nu +1)F_{1}^{(\nu +1)}+F_{1}^{(\nu)}=0 \] zur Folge, d. i. die Gleichung, welche auf dem andern Wege durch mühsame Betrachtungen, theils als eine Merkwürdigkeit errungen, theils auch nur als Postulat den weiteren Ableitungen zu Grunde gelegt ist. Nachdem hierdurch die Quelle der Bedeutung von \(F_{1}\) für die Theorie der Bessel'schen Functionen ans Licht gezogen ist, welche in den Resultaten Lommel's überall hervortritt, sind wir durch die Zwecke unserer Besprechung verhindert, die Einfachheit der aus der transformirten Gleichung für \(F\), zu zeigenden Consequenzen an dieser Stelle auszuwerthen. Wir können uns aber nicht versagen, darauf hinzuweisen, dass die Berücksichtigung der complexen Werthe von \(\nu\) offenbar keine neuen Schwierigkeiten schafft, dass die Entwicklung der Reihen und der Kettenbrüche durch die transformirte Differentialgleichung unmittelbar gegeben ist, und dass aus der letzteren alle Singularitäten von \(F\) sofort hervorspringen, auch wenn man die einschlagenden allgemeineren Sätze von Weierstrass und Pochhammer nicht berücksichtigen will. Was die von Lommel ausgeführten Relationen und Entwicklungen selbst betrifft, so ist die Fülle derselben so gross, dass ihre Aufzählung mehr Raum wegnehmen würde, als uns zu Gebote steht. Wir müssen dieserhalb vornehmlich auf das Werk selbst verweisen. --- Da der Verfasser ausdrücklich auf die Aufstellung einer vollständigen Theorie verzichtet, so kann es übrigens nicht missdeutet werden, wenn wir die Beurtheilung des Restes der Reihen bei complexen Werthen der Veränderlichen als eine noch zu lösende Aufgabe bezeichnen und den Beweis, dass \(J^{(\nu)}=0\) nur reelle Wurzeln habe (\(\S\).18.), für der Vervollkommnung bedürftig halten. Wie Neumann die Entwicklung einer beliebigen Function nach den \(J\) gelehrt hat, so beweist Lommel den folgenden Satz, welchen er nach Fourier benennt, als von diesem für \(m=0\) zuerst aufgestellt: ``Bezeichnet man die positiven Wurzelnwerthe der Gleichung \(z^{-m}J^{m}(z)=0\) ihrer Grösse nach geordnet mit \(\theta_{0},\theta_{1}, \theta_{2},\ldots \theta_{p},\ldots\), so kann jede innerhalb der Grenzen 0 bis 1 beleibig gegebene Function \(f(x)\) in eine nach \((\theta_{p}x)^{-m}J^{m}(\theta_{p}x)\) fortschreitende Reihe entwickelt werden.'' und ferner die Erweiterung eines von Schlömilch (Schlömilch Z. II. S. 155.) aufgefundenen Satzes: `` Die beliebige Function \(\varphi(x)\) kann unter der Bedingung \(\pi\geqq x\geqq 0\) in die Reihe \[ \varphi(x)=B_{1}J^{m}(x)+B_{2}J^{m}(2x)+B_{3}J^{m}(3x)+\cdots \] verwandelt werden, wenn nur die Coefficienten \(B\) vermittelst der Formel \[ B_{n}=\left(-\frac{1}{2}\right)^{m}\cdot n^{m}\cdot \frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}u\cos nu du\int_{0}^{1}\frac{F'(ut)dt}{\sqrt{1-t^{2}}} \] und die Function \(f(u)\) aus der Gleichung \[ \frac{d^{m}f(\surd x)}{dx^{m}}=x^{-\frac{m}{2}}\varphi(\surd x) \] bestimmt werden''. Es ist für die Gültigkeit dieser Sätze jedoch nicht zu übersehn, dass der Beweis für andere, als synektische Functionen in der That nicht geführt wird und dass die Convergenzbetrachtungen fehlen. Schliesslich verwendet der Verfasser die Bessel'schen Functionen, um die Gleichungen \[ \begin{aligned} & 1)\quad \frac{d^{2}}{dz^{2}}\cdot z^{m}y^{-\frac{\nu}{2}}J^{\nu}(\surd y)=f(z)z^{m}y^{-\frac{\nu}{2}}J^{\nu}(\surd-y), \\ & 2)\quad \text{die Bessel'sche Differentialgleichung,}\\ & 3) \quad \frac{d^{2}y}{dz^{2}}+a\frac{dy}{dz}\pm \frac{1}{4}y=0,\\ & 4) \quad \text{die Riccati'sche Gleichung,}\\ & 5) \quad \text{die Gleichungen \(\frac{d^{2}y}{dz^{2}}+e^{2z}y=0,\)\quad \(z^{4}\frac{d^{2}y}{dz^{2}}+e^{\frac{2}{z}}y=0,\)} \\ & 6)\quad \text{die Gleichung \(x^{m}\frac{d^{2m}y}{dx^{2m}}\pm y=0\)}\end{aligned} \] zu integriren.
scientific article; zbMATH DE number 2722849