On a problem in the general theory of the geographical representations of a surface on another
type: Item
instance of: scholarly article
title: On a problem in the general theory of the geographical representations of a surface on another
zbMATH Open document ID: 02.0622.02
DOI: 10.1007/BF02422982
published in: Annali di Matematica Pura ed Applicata. II. Serie
publication date: 1869-01-01T00:00:00Z
review text: Nach Herrn Beltrami lassen sich nur Oberflächen constanter Krümmung so auf einer Ebene eindeutig abbilden, dass die Bilder geodätischer Linien Gerade werden. Herr Dini untersucht, unter wechen Bedingungen sich irgend zwei Flächen eindeutig so aufeinander abbilden lassen, dass jeder geodätischen Linie der einen eine geodätische Linie der anderen entsprischt. Aehnlichkeit der kleinsten Theile wird bei dieser ``geodätischen Abbildung'' nicht verlangt. Die Beantwortung der Frage stützt sich auf folgenden Satz: Fixirt man auf einer Oberfläche 2 beliebige Curven \(A\) und \(B\), so kann der Ort der Punkte, deren geodätische Entfernungssumme von \(A\) und \(B\) constant ist ``geodätische Ellipse'' der Ort der Punkte von constanter Entfernung-Differenz ``geodätische Hyperbel'' genannt werden. Enthält nun eine Oberfläche eine Doppelschaar \textit{isothermer}, geodätischer Ellipsen und Hyperbeln, welche dieselbe Basis \(A\) und \(B\) haben, und wählt man dieselben zu Coordinatenlinien, so hat das Linien-Element der Oberfläche die Form: \[ ds^2=(U-V)(U_1 du^2+V_1 dv^2), \] wo \(UU_1\) nur von \(u, VV_1\) nur von \(v\) abhängen; - umgekehrt, wenn diese Gleichung erfüllt ist, so sind die Curven \(u=\)const., \(v=\)const. (isotherme) Hyperbeln und Ellipsen in Bezug auf die Curven \(A\) und \(B\), deren Gleichungen sind: \[ \int\sqrt{(U-h)U_1}du+\i\sqrt{(h-V)V_1}dv=c, \] \[ \int\sqrt{(U-h)U_1}du-\i\sqrt{(h-V)V_1}dv=c_1, \] \(c, c_1\) und \(h\) sind Constante, \(h\) ist so zu wählen, dass \(U-h\) und \(V-h\) in dem betrachteten Theil der Oberfläche stets positiv bleiben. - Nachdem Herr D. diesen Satz entwickelt hat, erledigt er die Frage, wann sich zwei Flächen \(S\) und \(S'\) geodätisch aufeinander abbilden lassen. Da Aehnlichkeit der kleinsten Theile nicht verlangt wird, so giebt es nach Tissot auf \(S\) eine einzige Doppelschaar orthogonaler Curven, die bei eindeutiger Abbildung von \(S\) auf \(S'\) ein eben solche zum Bilde hat. Fasst man diese als Coordinatenlinien auf, so ka…
Mathematics Subject Classification ID: 53A05
zbMATH DE Number: 2722081
zbMATH Keywords: geodesic mappings
MaRDI profile type: Publication
full work available at URL: https://doi.org/10.1007/bf02422982
OpenAlex ID: W2048165203
author: Ulisse Dini
description: scientific article; zbMATH DE number 2722081