On a problem in the general theory of the geographical representations of a surface on another
Nach Herrn Beltrami lassen sich nur Oberflächen constanter Krümmung so auf einer Ebene eindeutig abbilden, dass die Bilder geodätischer Linien Gerade werden. Herr Dini untersucht, unter wechen Bedingungen sich irgend zwei Flächen eindeutig so aufeinander abbilden lassen, dass jeder geodätischen Linie der einen eine geodätische Linie der anderen entsprischt. Aehnlichkeit der kleinsten Theile wird bei dieser ``geodätischen Abbildung'' nicht verlangt. Die Beantwortung der Frage stützt sich auf folgenden Satz: Fixirt man auf einer Oberfläche 2 beliebige Curven \(A\) und \(B\), so kann der Ort der Punkte, deren geodätische Entfernungssumme von \(A\) und \(B\) constant ist ``geodätische Ellipse'' der Ort der Punkte von constanter Entfernung-Differenz ``geodätische Hyperbel'' genannt werden. Enthält nun eine Oberfläche eine Doppelschaar \textit{isothermer}, geodätischer Ellipsen und Hyperbeln, welche dieselbe Basis \(A\) und \(B\) haben, und wählt man dieselben zu Coordinatenlinien, so hat das Linien-Element der Oberfläche die Form: \[ ds^2=(U-V)(U_1 du^2+V_1 dv^2), \] wo \(UU_1\) nur von \(u, VV_1\) nur von \(v\) abhängen; - umgekehrt, wenn diese Gleichung erfüllt ist, so sind die Curven \(u=\)const., \(v=\)const. (isotherme) Hyperbeln und Ellipsen in Bezug auf die Curven \(A\) und \(B\), deren Gleichungen sind: \[ \int\sqrt{(U-h)U_1}du+\i\sqrt{(h-V)V_1}dv=c, \] \[ \int\sqrt{(U-h)U_1}du-\i\sqrt{(h-V)V_1}dv=c_1, \] \(c, c_1\) und \(h\) sind Constante, \(h\) ist so zu wählen, dass \(U-h\) und \(V-h\) in dem betrachteten Theil der Oberfläche stets positiv bleiben. - Nachdem Herr D. diesen Satz entwickelt hat, erledigt er die Frage, wann sich zwei Flächen \(S\) und \(S'\) geodätisch aufeinander abbilden lassen. Da Aehnlichkeit der kleinsten Theile nicht verlangt wird, so giebt es nach Tissot auf \(S\) eine einzige Doppelschaar orthogonaler Curven, die bei eindeutiger Abbildung von \(S\) auf \(S'\) ein eben solche zum Bilde hat. Fasst man diese als Coordinatenlinien auf, so kann die Bedingung, dass den geodätischen Linien auf \(S\) eben solche auf \(S'\) entsprechen sollen, einfach analytisch ausgedrückt werden, und es ergiebt sich, dass die Linien-Elemente auf \(S\) und \(S'\) von folgender Form sein müssen: \[ ds^2=(U-V)(U_1 du^2+V_1 dv^2); \] \[ ds^{\prime 2} = \left( \frac{1}{aV+b}-\frac{1}{aU+b} \right) \left( \frac{U_1}{a(aU+b)}du^2+\frac{V_1}{a(aV+b)}dv^2 \right) \] (\(U, U_1\) hängen nur von \(u\), \(V\) und \(V_1\) nur von \(v\) ab; \(a\) und \(b\) sind beliebige Constanten). Eine Oberfläche \(S\) (resp. ein Theil derselben) lässt sich demnach immer, aber auch nur dann geodätisch abbilden, wenn auf ihr eine Doppelschaar orthogonaler, isothermer geodätischer Kegelschnitte (mit derselben Basis) vorhanden ist; die Abbildung kann aber dann (wegen der willkürlichen Constanten \(a\) und \(b\)) auf unzähligen Flächen \(S'\) bewirkt werden, die nich auf einander abwickelbar sind. Man bemerkt sofort, dass den Flächen \(2^{ten}\) Grades und sämmtlichen Rotationsflächen diese Eigenschft zukömmt; die Grund-Curven sehrumpfen in diesen Fällen zu Punkten zusammen, den Nabelpunkten. Im letzten Theile seiner Arbeit geht Herr Dini näher auf den besonderen Fall der Flächen von constanter Krümmung ein.
scientific article; zbMATH DE number 2722081