Conformal map from the surface of a tetrahedron on a sphere
type: Item
instance of: scholarly article
title: Conformal map from the surface of a tetrahedron on a sphere
zbMATH Open document ID: 02.0626.02
published in: Journal für die Reine und Angewandte Mathematik
publication date: 1869-01-01T00:00:00Z
full work available at URL: https://www.digizeitschriften.de/dms/resolveppn/
full work available at URL: https://eudml.org/doc/148077
review text: Die Resultate der erstgenannten Arbeit (JFM 02.0626.01) sind zum Theil specielle Fälle der oben besprochenen, die auf etwas verschiedenem Wege gewonnen sind; die der Abbildung des Quadrats werden die Bilder der Ecken auf dem Rande der Halb-Ebene nicht durch den Kalkül, sondern durch eine glückliche Vermuthung bestimmt. Die Ergänzungsflächen, sowie den Fall der beliebig krummunlinigen Begrenzung hat Herr S. nicht in den Bereicht seiner Untersuchungen gezogen. In Betreff der im vorhergehenden Referat hervorgehobenen Constantenbestimmung bemerkt der Herr Verf., der betreffende Nachweis sei ihm selbst für den Fall des Vierseits gelungen, für den allgemeinen verdanke er einen solchen Herrn Weierstrass; es wäre geweiss sehr dankenswerth, wenn diese Beweise auch veröffentlich würden. Neu ist die Abbildungsmethode für Polygone, welche von Kreisbogen begrenzt werden; in diesem Falle betrachtet Herr S. die Form der Function \[ \frac{d^2}{dt^2}\text{log}\frac{du}{dt}- \frac 1 2\left( \frac{d}{dt}\text{log}\frac{du}{dt} \right)^2 \] (\(u\) die Variabele des Polygons, \(t\) die der Halb-Ebene); enthält das Polygon im Innern keine Windungspunke, so ist dieser Ausdruck eine rationale Function von \(t\). Am Ende der ersten Abhandlung wendet sich Herr S. zu der Aufgabe: Die geschlossene einfach zusammenhängende Oberfläche eines ebenen Polyeders auf die Oberfläche einer Kugel eindeutig so abzubilden, dass mit Ausnahme der den Ecken entsprechenden Punkte die Abbildung überall in den kleinsten Theilen ähnlich, in diesen Punkten aber die Steigkeit nicht unterbrochen sei. Unter der Voraussetzung, dass eine solche Abbildung möglilch ist, wird die Form der abbildenden Function gegeben; - man denkt die Oberfläche des Polyeders auf einer Ebene \(u\) abgewickelt, die Kugel durch reciproke Radiivectoren eindeutig auf eine Ebene \(x\) abgebildet und bezieht diese beiden Ebenen auf einander. Für den Fall der regulären Polyeder lässt sich die Lösung nachträglich leicht verificiren. Die zweite Abh…
Mathematics Subject Classification ID: 30C20
zbMATH DE Number: 2722087
zbMATH Keywords: conformal transformation
MaRDI profile type: Publication
OpenAlex ID: W1975615251
Wikidata QID: Q110503145
DOI: 10.1515/CRLL.1869.70.121
author: Hermann Schwarz
description: scientific article; zbMATH DE number 2722087