Proof that each covariant and each invariant of a binary form is an entire functon, with numerical coefficients, of finitely many such forms.
type: Item
instance of: scholarly article
title: Proof that each covariant and each invariant of a binary form is an entire functon, with numerical coefficients, of finitely many such forms.
zbMATH Open document ID: 01.0060.01
author: P. Gordan
published in: Journal für die Reine und Angewandte Mathematik
publication date: 1868-01-01T00:00:00Z
full work available at URL: https://eudml.org/doc/148066
review text: Gordan löst in diesem Aufsatze die von Cayley aufgeworfene eben erwähnte Frage (JFM 01.0059.03). Die gegebene Form \(f\) sei symbolisch durch \[ (a_{1}x_{1} +a_{2}x_{2})^{n} =a_{\chi}^{n} \] bezeichnet. Bildet man nach dem bekannten Verfahren, welches dazu dient, aus zwei bekannten Covarianten von \(f,\) etwa \(\varphi\) und \(\psi,\) welche symbolisch durch \(\varphi_{\chi}^{\mu}\) und \(\psi_{\chi}^{\nu}\) bezeichnet sein, die einfachsten neuen Covarianten und Invarianten zu finden, die Formen \[ (\varphi\psi)^{0} =\varphi.\psi, \] \[ (\varphi\psi)^{1}=\varphi_{\chi}^{\mu -1}\psi_{\chi}^{\nu -1}(\varphi\psi), \] \[ (\varphi\psi)^{2}=\varphi_{\chi}^{\mu -2}\psi_{\chi}^{\nu -2}(\varphi\psi)^{2}\;\;etc. \] so sagen wir, sie seien durch die \(0^{te},\;1^{te},\;2^{te}\;\ldots\) Uebereinanderschiebung von \(\varphi\) und \(\psi\) entstanden. Es wird dann bewiesen, dass alle Formen von \(f\) lineare Functionen mit numerischen Coefficienten von Formen sind, die mittelst wiederholter Uebereinanderschiebung aus \(f\) entstehen. Nun werden die durch Uebereinanderschiebung entstehenden Formen in dieser Reihenfolge gebildet: \((ff)^{0} =k_{21},\;(ff)^{1} =k_{22},\;(ff)^{2} =k_{23}\;\ldots\) ferner \[ (k_{21}f)^{0},\;(k_{22}f)^{0}\;\ldots ,\;(k_{21}f)^{1},\;(k_{22}f)^{1}\;\ldots, \] \[ (k_{21}f)^{2},\;(k_{22}f)^{2}\;\ldots ,\;(k_{21}f)^{3},\;(k_{22}f)^{3}\;\ldots , \] welche mit \(k_{31},\;k_{32}\;\ldots\) bezeichnet werden, u. s. w. für Formen \(4^{ter},\;5^{ter},\;\ldots\) Ordnung. Die in dieser Anordnung vor \(k_{ik}\) stehenden Formen heissen frühere. Wir lassen alle diejenigen aus, welche lineare Combinationen mit numerischen Coefficienten früherer Formen \(k\) sind. Die übrig bleibenden bezeichnen wir durch \(T.\) Unter den \(T\) besteht dann keine lineare Relation und jede Covariante und Invariante von \(f\) kann (aber nur auf eine Weise) in die Form gebracht werden \[ J =c_{1}T_{1} +c_{2}T_{2} +\cdots . \] Wird nun eine Form \(W\) definirt durch \[ W =b_{\chi}^{r}c_{\ch…
Mathematics Subject Classification ID: 11E76
Mathematics Subject Classification ID: 15A72
zbMATH DE Number: 2722692
zbMATH Keywords: binary forms of higher degree
zbMATH Keywords: binary forms of degree five or six
zbMATH Keywords: covariant of binary form
zbMATH Keywords: invariant of binary form
MaRDI profile type: Publication
OpenAlex ID: W1970960028
Wikidata QID: Q59442986
DOI: 10.1515/CRLL.1868.69.323
description: scientific article; zbMATH DE number 2722692