On the maxima and minima of sums of the values of an entire function and of its derivatives.
Die behandelte Aufgabe ist die folgende: Es soll der Ausdruck \[ \varSigma\varphi_{0}(x_{i},y{i},y'_{i},y''_{i},\ldots ) \] zum Maximum oder Minimum gemacht werden, wo \(x\) eine unabhängige Variable, \(y\) eine ganze rationale Function derselben von gegebenem Grade, aber mit unbekannten Coefficienten, \(y'\;y''\) die Ableitungen derselben nach \(x,\;\varphi_{o}\) eine gegebene ganze rationale Function von \(x,\;y,\;y',\;y'',\ldots \), die Summe dem Index \(i\) entspricht, welcher anzeigen soll, dass die Variable \(x\) eine beliebige und folglich auch den Functionen \(y,\;y',\;y'',\ldots \) die sich dadurch ergebenden Werthe beizulegen sind. In dem Falle, wo diese Werthe \(x_{1},\;x_{2},\ldots \) continuirlich auf einander folgen, sich die Summe \(\varSigma \) also in ein bestimmtes Integral verwandelt, enthält die Aufgabe eine gewisse Analogie mit der der Variationsrechnung, unterscheidet sich aber sehr wesentlich dadurch, dass nicht von allen Functionen \(y\) von \(x\), sondern nur von den ganzen Functionen vom gegebenen Grade \(m\) die ermittelt werden soll, welche die Maximal- oder Minimal-Eigenschaft hat. Ist \[ y=A_{0}+A_{1}x+\cdots +A_{m}x^{m}, \] so ergeben sich die Gleichungen, welche zu lösen sind, leicht durch Differentiiren der gegebenen Summe nach \(A_{0},\;A_{1},\ldots A_{m}\), wenn das Maximum oder Minimum ein absolutes sein soll. Wird die Aufgabe aber darin beschränkt, dass gewisse andere ähnliche Summen wie die gegebenen, also von der Form \[ \varSigma\varphi_{s}(x_{i},y_{i},y_{i}',y_{i}',\ldots ) \] verschwinden sollen, wo jedich die Werthe der \({x}\) in den verschiedenen Summen nicht dieselben sind, so wird die Lösung dadurch erschwert, dass sich die Bedingungen nicht auf Gleichungen von bekannter Gestalt, also z.B. nicht wie in der Variationsrechnung auf Differentialgleichungen zurückführen lassen. Dem Verfasser gelingt die Lösung des Problems jedoch durch diejenigen Reihen, die er in einer früheren Abhandlung (Développement des fonctions en séries à l'aide des fractions continues) bereits behandelt hat.
scientific article; zbMATH DE number 2722778