Exposition of some properties of the class number of ideal complex numbers.
type: Item
instance of: scholarly article
title: Exposition of some properties of the class number of ideal complex numbers.
zbMATH Open document ID: 02.0097.01
published in: Monatsbericht der Königlich-Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin
publication date: 1870-01-01T00:00:00Z
review text: Eine endliche Zahl von Elementen \(\varTheta', \varTheta'', \varTheta''',\dots\) soll so beschaffen sein, dass mittels einer bestimmten Operation, welche symbolisch durch das Multiplicationszeichen angedeutet werden mag, aus zweien ein drittes abgeleitet wird. Diese Operation soll folgende Eigenschaften haben: 1) \(\varTheta' \varTheta'' =\varTheta'' \varTheta'\), 2) \(\varTheta' (\varTheta' \varTheta''')=(\varTheta' \varTheta'')\varTheta'''\), 3) \(\varTheta' \varTheta\) ist von \(\varTheta' \varTheta'''\) verschieden, wenn \(\varTheta''\) von \(\varTheta'''\) verschieden ist. Es gelten dann die Sätze: Unter den verschiedenen Potenzen von \(\varTheta\) giebt es solche, die der Einheit äquivalent sind. Die Exponenten dieser sind ganze Vielfache des kleinsten, zu dem das betreffende \(\varTheta\) ``gehört''. Gehört ein \(\varTheta\) zu \(\nu\), so gehört auch stets ein \(\varTheta'\) zu jedem Theiler von, \(\nu\). Ist \(n_1\) die kleinste Zahl, welche sämmtliche \(\nu\) als Theiler enthält, so giebt es Elemente \(\varTheta\), die zu \(n_1\) gehören. -- Eins derselben sei \(\varTheta_1; \varTheta'\) und \(\varTheta''\) heissen ``relativ äquivalent'', wenn \(\varTheta' \varTheta_1^k \sim \varTheta''\). Sondert man aus dem System der \(\varTheta\) ein solches ab, in dem keine 2 einander äquivalent sind, so gelten von ihm die obigen Sätze; es giebt also eine Zahl \(n_2\), so dass jedes \(\varTheta\) des neuen Systems \(\varTheta^{n_2} \sim \varTheta_1^{k_1}\) liefert. Dieses \(n_2\) ist ein Theiler von \(n_1\); zu ihm gehöre \(\varTheta_2\). Ebenso bilde man ein neues System, in dem für keine zwei \(\varTheta\) die Gleichung \(\varTheta_\lambda \varTheta_1^k \varTheta_2^l \sim\varTheta_\mu\) gilt u.s. w., so kommt man zu einem Systeme von Fundamentalelementen \(\varTheta_1, \varTheta_2, \varTheta_3,..\) die bezüglich zu \(n_1, n_2, n_3..\) gehören, und mittels deren sich jedes in der Form \(\varTheta_1^{m_1} \varTheta_2^{m_2} \varTheta_3^{m_3}..(m_1<n_1, m_2<n_2..)\) dar…
Mathematics Subject Classification ID: 11R29
zbMATH DE Number: 2721142
zbMATH Keywords: Class number
MaRDI profile type: Publication
author: Leopold Kronecker
description: scientific article; zbMATH DE number 2721142