The cylinder functions of the first and second kind.
type: Item
instance of: scholarly article
title: The cylinder functions of the first and second kind.
zbMATH Open document ID: 02.0257.02
DOI: 10.1007/BF01445870
author: Hermann Hankel
published in: Mathematische Annalen
publication date: 1869-01-01T00:00:00Z
full work available at URL: https://eudml.org/doc/156420
review text: Heine hat (Fortschr. d. M. I. p. 146, JFM 01.0146.01) die Fourier-Bessel'schen Funktionen oder Cylinderfunktionen als Grenzwerthe von Kugelfunktionen dargestellt. Hankel verweist auf Hansen (Abhandlungen der Sächsischen Gesellsch. d. W. 1855 p. 252), welcher \[ J^n (x) = \left( \frac{x}{2} \right)^n \cdot \frac{1}{\varGamma (n + l)}\, F \left( \omega, \omega', n + 1, - \frac{x^2}{4 \omega \omega'} \right), \] d. i. \(J^n (x)\) als Grenzwerth der hypergeometrischen Funktion \(F\) für unendlich grosse \(\omega\) und \(\omega'\) ableitet, was zur Vervollständigung der im vorigen Jahrgang aufgeführten Literatur erwähnt sein mag. Die Abweichung von der Continuität der Lösungen der Gleichung \[ \frac{d^2 R}{dx^2} + \frac{1}{x} \frac{dR}{dx} + \left( 1- \frac{n^2}{x^2} \right) R = 0, \] dass, wenn \(n\) eine ganze Zahl ist, \(J^n (x)\) und \(J^{-n}(x)\) nicht mehr zwei verschiedene particuläre Integrale darstellen, hebt der Verfasser dadurch, dass er \(J^n (x)\) als erste und \[ \lim_{\varepsilon = 0} \cdot \frac{(-1)^n J^{-(n - \varepsilon)} (x) - J^{n -\varepsilon} (x)}{\varepsilon} \] als zweite partikuläre Lösung nachweist, wodurch er ausserdem zu der Reihenentwickelung \[ Y^n (x) = - \left( \frac{x}{2} \right)^{-n} \sum^{p = n - 1}_{p = 0} \frac{\varGamma (n - p)}{\varGamma (p + 1)} \left( \frac{x}{2} \right)^{2p} \] \[ +\left( \frac{x}{2} \right)^n \sum^{p = \infty}_{p = 0} \frac{(-1)^p}{\varGamma (n + p + 1) \varGamma (p + 1)} \left( \frac{x}{2} \right)^{2p} \left\{ \log \left( \frac{x}{2} \right)^2 \psi(n + p + 1) - \psi (p + 1) \right\} \] für die zweite Lösung bei granzen \(n\) gelangt, indem er \[ \psi (x) = \frac{d \log \varGamma (x)}{dx} \] setzt. Dann entwickelt er nach einem rationallen Princip eine Reihe von Integralausdrücken für die Cylinderfunktionen, bei denen er scharf zwischen den verschiedenen möglichen Voraussetzungen über die reellen Theile der Complexen \(x\) und \(n\) unterscheidet, leitet aus diesen semiconvergente Reihen für dieselben ab, welch…
Mathematics Subject Classification ID: 33C10
zbMATH DE Number: 2721390
zbMATH Keywords: Cylinder functions
MaRDI profile type: Publication
OpenAlex ID: W2019287826
description: scientific article; zbMATH DE number 2721390