Malfatti's problem
Der chronologischen Reihenfolge nach enthält die vorliegende Arbeit den zweiten rein geometrischen Beweis der Steiner'schen Lösung (Crelle J. I. 178) der urspünglich Malfatti'schen Aufgabe [Memoria sopra un problema stereotomico (Mem. di Matematica e di Fisica della S. J. delle sciense. Modena 1803 tomo X. parte I\(^{\text{a}}\). pag. 235)] , der sich aber in einer für ihn so vortheilhaften Weise von dem ersten, von Quidde (Pr. Herford 1865) herrührenden, -- der nicht viel mehr als eine blosse Analyse der Steiner'schen Lösung, und daher wenig geeignet, den Leser zu befriedigen --, unterscheidet, dass man, der Sache nach, versucht sein möchte, dieses Prädikat erst auf den Binder'schen in Anwendung zu bringen. Es stützt sich der hier gegebene Beweis auf mehrere elementare und elementar zuerst bewiesene Lehrsätze über Tangenten an Kreise. Diesen folgt die Deduktion eines Problems, das sich selbst wieder in drei Aufgaben spaltet, von denen die letzte das Malfatti'sche Problem im engeren Sinne umfasst, und die der Reihe nach behandelt werden. Im sechsten Abschnitte geschehen die Erörterungen aller möglichen Lösungen der drei Aufgaben dieses durch seine allgemeine Fassung interessanten Problems, insbesondere auch Untersuchungen in Bezug auf die Anzahl der immer möglichen Lösungen, bei denen Referent sich begnügen muss, auf Binder's Arbeit hinzuweisen, welche diese Untersuchungen in umfassendem Sinne vollständig durchgeführt enthält. In dem Punkte der 32 immer möglichen Lösungen stimmt Binder mit Steiner überein; die von Steiner behaupteten 48 weiteren Lösungen reduciren sich, wie Binder gezeigt hat, wenn man nur ungleichseitige Dreiecke in Betracht zieht, immer auf 40, nach Umständen aber auf 30. Weiter finden sich im sechsten Abschnitte einige historische Bemerkungen zum Malfatti'schen Problem. Bekanntlich hat Plücker (VI. Abschnitt der analyt. geom. Aphorismen. Crelle J. XI. 356) für die Steiner'sche Verallgemeinerung der Malfatti'schen Aufgabe zwei Konstruktionen gegeben, die im Wesentlichen von der Steiner'schen Lösung abweichen und den beiden Fällen entsprechen, in denen die drei gegebenen Kreise entweder als einander gleich, oder als ungleich angenommen werden. [Die Steiner'sche Verallgemeinerung der Malfatti'schen Aufgabe in der Ebene besteht darin, dass man an die Stellen der Dreiecksseiten drei beliebige Kreise setzt (Crelles J. I. Bd. Seite 180). Für den Raum hat Steiner (ibidem) dem Problem eine weitere Ausdehnung gegeben, indem er es auf beliebige Oberflächen zweiter Ordnung übertrug. Siehe die Literatur am Schluss des Referates.] Den Hauptsatz, auf dem die Konstruktion des ersten Falles beruht, hat Plücker unbewiesen gelassen, d. h. ihm den analytischen Beweis, den er angedeutet, nicht beigegeben, weil er glaubte, dass sich derselbe durch eine einfache allgemeine Betrachtung werde ersetzen lassen, im Uebrigen aber die Richtigkeit des Satzes durch Einführung in seine Konstruktion anerkannt. Die Unrichtigkeit dieser von Plücker aufgestellten Behauptung, die ein exakter Beweis der Steiner'schen Lösung von selbst darthun würde, hat Binder im siebenten Abschnitte seiner Schrift, wenn auch nicht strenge erwiesen, so doch im hohen Grade wahrscheinlich gemacht; es würde jedoch zu weit führen, wenn Referent sich ausführlicher über die Plücker'sche Konstruktion und Kritik derselben von Binder verbreiten wollte. Auch zu der allgemeineren Plücker'schen Konstruktion, über die Referent sich in derselben Weise äussern kann, wie soeben über die des einfacheren Falles, findet man Bemerkungen in der Abhandlung von Binder, die sich überhaupt in eingehender Weise mit diesen Gegenstande beschäftigt, einen Beweis der Steiner'schen Lösung der besprochenen Verallgemeinerung aber nicht enthält. Binder hat neben dem Verdienste, das er sich durch seinen rein geometrischen Beweis der Steiner'schen Konstruktion der einfacheren Aufgabe erworben, noch das andere mit gebührendem Rechte erlangt, die bis zum Erscheinen seiner Schrift nur unvollständig behandelte Bestimmung der Anzahl der möglichen Lösungen in einer genauen, durchgreifenden Betrachtung erörtert und endlich für die allgemeinere Malfatti'sche Aufgabe das Interesse der Mathematiker wieder wach gerufen zu haben. Siehe auch die Abhandlungen von Cayley in den Philosophical Transactions vom Jahre 1852, Clebsch (Crelles Journal 53. Bd.) und Schellbach (Crelles J. 45. Bd.).
solutions of Malfatti's problem. tangents, circles
scientific article; zbMATH DE number 2721604