Das Problem der Irrfahrt ohne Richtungsbeschränkung und die Randwertaufgabe der Potentialtheorie
Ein Partikel unternimmt einen polygonalen Irrweg auf der Ebene \((x,y)\); jede Seite dieses Weges besitzt die Länge \(l\) und jede Richtung ist gleich wahrscheinlich. Es sei \(w(x,y;0)\,dx\,dy\) die Wahrscheinlichkeit dafür, daß der Anfangspunkt der Irrfahrt im Flächenelemente \(dx\,dy\) liegt, und \(w(x,y;n)\) die entsprechende Wahrscheinlichkeit für die \(n\)-te Ecke des Irrwegpolygons. Man kann \(w(x,y;n)\) durch die Rekursionsformel \[ w(x,y;n+1) = \frac1{2\pi} \int_0^{2\pi} w(x+l\cos\varphi, y+l\sin\varphi;n)\,d\varphi = \frac1{2\pi} \int_0^{2\pi} \overline w(x,y;n)\,d\varphi \tag{1} \] berechnen. Der Verf. betrachtet als Grenzfall den Fall, in welchem der Anfangspunkt mit der Wahrscheinlichkeit 1 mit dem Koordinatenanfang übereinstimmt. Für \(n\geq 3\) sind die entsprechenden Funktionen \(w(x,y;n)\) stetig und können durch die folgende von Lord Rayleigh gefundene Formel dargestellt werden: \[ w(x,y;n) = \frac1{2\pi} \int_0^\infty \rho J_0^n(\rho l) J_0(\rho r)\,d\rho, \] wobei \(J_0(x)\) die nullte Besselsche Funktion und \(r^2 = x^2 + y^2\) ist. Bei der Irrfahrt im dreidimensionalen Raume hat man (ebenso nach Lord Rayleigh) \[ w(x,y,z;n) = \frac1{2\pi^2r} \int_0^\infty \rho\left(\frac{\sin\rho l}{\rho l}\right) \sin\rho r \,d\rho. \] \(H(x,y;n) = w(x,y;0) + \ldots + w(x,y;n)\) multipliziert mit \(dx\,dy\) ist die mathematische Hoffnung im Verlauf von \(n\) Schritten, einmal das Flächenelement \(dx\,dy\) zu erreichen. Bei wachsendem \(n\) wächst \(H(x,y;n)\) über alle Grenzen. Im dreidimensionalen Falle konvergiert \(H(x,y,z;n)\) bei wachsendem \(n\) gegen einen endlichen Limes. Wenn man die Irrfahrt im beschränkten Gebiet \(G\) mit einem absorbierenden Rand \(\Gamma\) betrachtet, so muß man die Lösungen der Funktionalgleichung (1) suchen, die außerhalb \(G\) verschwinden. Der Verf. gibt noch die Lösung der Irrfahrtprobleme mit reflektierendem Rand, aber nur für eine rechteckige Berandung (mit Hilfe des Spiegelungsprinzips). Im zweiten Teile untersucht der Verf. die Lösungen der Funktionalgleichung \[ \bigodot u = \int_0^{2\pi} \overline u\,d\varphi - 2\pi u = 0\tag{2} \] und zeigt, daß diese Gleichung sich in mehrfacher Hinsicht ganz analog der Laplaceschen Gleichung \(\Delta u = 0\) verhält. Wenn \(f(x,y)\) eine außerhalb des Gebietes \(G\) definierte stückweise stetige Funktion ist, so kann man immer eine und nur eine Funktion \(u(x,y)\) finden, welche im \(G\) der Gleichung (2) genügt und außerhalb \(G\) mit \(f(x,y)\) übereinstimmt. Unter der Voraussetzung, daß \(f(x,y)\) stetig ist, konvergiert diese Funktion \(u(x,y)\) mit \(l\to 0\) gegen die Lösung des Dirichletschen Problems für die Laplacesche Gleichung \(\Delta u = 0\) mit den Randbedingungen \(u(x,y) = f(x,y)\) auf dem Rande \(\Gamma\) von \(G\).
boundary value problem of potential theory
scientific article; zbMATH DE number 3001170