Das Problem der Irrfahrt ohne Richtungsbeschränkung und die Randwertaufgabe der Potentialtheorie
type: Item
instance of: scholarly article
title: Das Problem der Irrfahrt ohne Richtungsbeschränkung und die Randwertaufgabe der Potentialtheorie
zbMATH Open document ID: 0001.39903
DOI: 10.1007/BF01457965
author: Rudolf Lüneburg
published in: Mathematische Annalen
publication date: 1931-01-01T00:00:00Z
full work available at URL: https://eudml.org/doc/159492
review text: Ein Partikel unternimmt einen polygonalen Irrweg auf der Ebene \((x,y)\); jede Seite dieses Weges besitzt die Länge \(l\) und jede Richtung ist gleich wahrscheinlich. Es sei \(w(x,y;0)\,dx\,dy\) die Wahrscheinlichkeit dafür, daß der Anfangspunkt der Irrfahrt im Flächenelemente \(dx\,dy\) liegt, und \(w(x,y;n)\) die entsprechende Wahrscheinlichkeit für die \(n\)-te Ecke des Irrwegpolygons. Man kann \(w(x,y;n)\) durch die Rekursionsformel \[ w(x,y;n+1) = \frac1{2\pi} \int_0^{2\pi} w(x+l\cos\varphi, y+l\sin\varphi;n)\,d\varphi = \frac1{2\pi} \int_0^{2\pi} \overline w(x,y;n)\,d\varphi \tag{1} \] berechnen. Der Verf. betrachtet als Grenzfall den Fall, in welchem der Anfangspunkt mit der Wahrscheinlichkeit 1 mit dem Koordinatenanfang übereinstimmt. Für \(n\geq 3\) sind die entsprechenden Funktionen \(w(x,y;n)\) stetig und können durch die folgende von Lord Rayleigh gefundene Formel dargestellt werden: \[ w(x,y;n) = \frac1{2\pi} \int_0^\infty \rho J_0^n(\rho l) J_0(\rho r)\,d\rho, \] wobei \(J_0(x)\) die nullte Besselsche Funktion und \(r^2 = x^2 + y^2\) ist. Bei der Irrfahrt im dreidimensionalen Raume hat man (ebenso nach Lord Rayleigh) \[ w(x,y,z;n) = \frac1{2\pi^2r} \int_0^\infty \rho\left(\frac{\sin\rho l}{\rho l}\right) \sin\rho r \,d\rho. \] \(H(x,y;n) = w(x,y;0) + \ldots + w(x,y;n)\) multipliziert mit \(dx\,dy\) ist die mathematische Hoffnung im Verlauf von \(n\) Schritten, einmal das Flächenelement \(dx\,dy\) zu erreichen. Bei wachsendem \(n\) wächst \(H(x,y;n)\) über alle Grenzen. Im dreidimensionalen Falle konvergiert \(H(x,y,z;n)\) bei wachsendem \(n\) gegen einen endlichen Limes. Wenn man die Irrfahrt im beschränkten Gebiet \(G\) mit einem absorbierenden Rand \(\Gamma\) betrachtet, so muß man die Lösungen der Funktionalgleichung (1) suchen, die außerhalb \(G\) verschwinden. Der Verf. gibt noch die Lösung der Irrfahrtprobleme mit reflektierendem Rand, aber nur für eine rechteckige Berandung (mit Hilfe des Spiegelungsprinzips). Im zweiten Teile untersucht der Ver…
Mathematics Subject Classification ID: 60G50
Mathematics Subject Classification ID: 31C99
zbMATH DE Number: 3001170
zbMATH Keywords: probability theory
zbMATH Keywords: boundary value problem of potential theory
MaRDI profile type: Publication
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description: scientific article; zbMATH DE number 3001170