Über das Mass der Menge aller \(S\)-Zahlen
Im [J. Reine Angew. Math. 166, 118--136 (1930; Zbl 0003.15101, JFM 57.0242.03)] gibt Verf. eine Einteilung aller transzendenten Zahlen in \(S\)-, \(T\)- und \(U\)-Zahlen. Die Zahl \(x\) ist eine \(S\)-Zahl, wenn für jeden Ausdruck \(f(x)=a_0x^m+a_1x^{m-1}+\ldots+a_m\) \((a_0,\ldots,a_m\) ganz, \(a=\max(| a_0|,| a_1|,\ldots | a_m|)\geq 1)\) gilt \[ | f(x)\geq \Gamma(m)\cdot a^{-\gamma m} \] \(gamma>0\), nur von \(x\), \(\Gamma(m)>0\) nur von \(x\) und \(m\) abhängig. Verf. zeigt: Das Linienmaß\ der Menge aller Punkte, die keine \(S\)-Zahlen sind (sogar die keine \(S\)-Zahlen sind mit \(\gamma\leq 4\)), auf der rellen Achse ist gleich Null und: das Flächenmaß\ der Menge aller Punkte der komplexen Zahlenebene, die keine \(S\)-Zahlen sind, ist gleich Null. Zuerst wird eine positive untere Grenze hergeleitet für den Ausdruck \[ | f(z)| + | f'(z)| \quad (m\geq 2;\;| z|\leq 3a;\;f(z) \text{ besitzt nur einfache Nullstellen}). \] Hieraus wird für das Maß\ aller \(z\) (L-Maß\ und Fl-Maß) mit \(F(z)\leq \mu a^{-4m}\) (\(\mu>0\) ist eine beliebige Konstante) eine obere Schranke hergeleitet. Die Behauptungen folgen dann leicht.
scientific article; zbMATH DE number 3003465