The algebra of many-valued quantities
Die Arbeit gründet sich auf eine Verschmelzung grundlegender Begriffe aus Mengentheorie und Analysis. Mit Hilfe des entstehenden einheitlichen Begriffssystems wird vor allem gezeigt: inwieweit die Limesbildung einer \(M\)-fachen Folge mit einigen elementaren Operationen distribuiert werden kann und wie aus dem Begriff des Limes einer Folge eine Verallgemeinerung des Limes-Begriffs bei stetiger Veränderlicher hergeleitet werden kann. Als grundlegender Begriff wird derjenige der vielwertigen Größe (many valued quantity) eingeführt. Eine vielwertige Größe -- kurz Größe -- ist ein Symbol für irgendein Element einer gegebenen Menge reeller Zahlen; die Elemente heißen die Werte der Größe. Auf den üblichen Begriff der Größe stützt sich in evidenter Weise die Definition von Summe und Produkt zweier Größen, auf den Begriff der Menge die Definition der Vereinigung (union \(a-\!\cup\!-b\)) und des Durchschnitts (link \(a{\overset {o}\wedge}b\)) zweier Größen \(a, b\). Außer diesen -- und einigen anderen -- mit Größen ausführbaren ,,operations'' werden eingeführt: ,,relations'' zwischen zwei Größen -- wie ,,enthaltensein'' \((\subset)\) und einige Wertanordnungsbeziehungen -- und ,,associated quantities'' einer Größe \(a\) -- wie die obere und die untere Grenze der Werte (d. s. einwertige Größen), die Hüllgröße \(a\square\) (frame; abgeschlossene Hülle der Wertemenge) und der im abgeschlossenen Intervall \(-\zeta,\zeta\) liegende Teil einer Größe (levelled quantity \(a]_\zeta\). Neben kommutativen Gesetzen für die Bildung von associated quantities werden im 1. Teile der Arbeit (bis Nr. 6) vor allem die distributiven Gesetze, die für irgend zwei operations gelten, entwickelt, ebenso die distributiven Gesetze für eine Operation und Bildung einer associated quantity (als Beispiel sei angeführt \(a]_\zeta\cdot b]_\zeta\subset a\cdot b]_\zeta\)). Der 2. Teil der Arbeit (Nr. 7--8) beginnt mit der Einführung des Begriffes der \(M\)-fachen Folge von Größen: \[ a_{(m)} \equiv a_{m_1,\ldots,m_M}\qquad (m_1,\ldots, m_M = 1, 2,\ldots). \] Unter dem endlichen \(M\)-fachen Limes (finite \(M\)ple limit) \(\displaystyle \left(\lim_{(m)\to\infty}\right) a_{(m)})\) dieser Folge wird die Größe verstanden, die als Werte die (im üblichen Sinne definierten) endlichen \(M\)-fachen Limites aller derjenigen \(M\)-fachen Zahlenfolgen besitzt, deren zum Index \(m_1,\ldots, m_M\) gehöriges Glied ein Wert der Größe \(a_{m_1,\ldots,m_M}\) ist. Falls alle derartigen Zahlenfolgen beschränkt sind, so heißt der endliche \(M\)-fache Limes vollständig. Der endliche Limes kann auf die ,,Nichtsgröße'' (nought) zusammenschrumpfen. Es gilt das distributive Gesetz \[ \left(\lim_{(m)\to\infty}\right) a_{(m)} -\cup- \left(\lim_{(n)\to\infty}\right) b_{(n)} =\left(\lim_{(m)\to\infty}\right)\left(\lim_{(n)\to\infty}\right)(a_{(m)}-\cup-b_{(n)}) \] wobei das Zeichen \(-\cup-\) durch \(+\) bzw. \(\cdot\) ersetzt werden darf. Das entsprechende Gesetz für \(\overset {o}\wedge\) ist komplizierter. Die angegebene Distribution läßt sich bei evidenter Einführung des endlichen \((M + N)\)-fachen Limes \(\left(\lim_{((m),(n))\to\infty}\right) (a_{(m)}-\cup-b_{(n)})\) in folgender Weise verschärfen: \[ \left(\lim_{((m),(n))\to\infty}\right) (a_{(m)}-\cup-b_{(n)})= \left(\lim_{(m)\to\infty}\right) a_{(m)} -\cup- \left(\lim_{(n)\to\infty}\right) b_{(n)}. \] Falls die endlichen Limites der Folgen \(a_{(m)}\) und \(b_{(n)}\) vollständig sind, läßt sich auch hier das Zeichen \(-\cup-\) durch \(+\) bzw. \(\cdot\) ersetzen, insbesondere gilt das Gesetz für alle drei Operationen, angewandt auf die Folgen der levelled quantities \(a]_\zeta\), \(b]_\zeta\). Es werden noch einige andere Bedingungen angegeben, unter denen sich das angegebene Gesetz für die Operationen \(+\) und \(\cdot\) retten läßt. Um im letzten Teil der Arbeit (Nr. 9) vom finiten Limes einer Folge auf den Limes bei einer stetigen Veränderlichen übergehen zu können, wird zunächst von einer \(M\)-fachen Größenfolge \(a_{(m)}\) zu der \(M\)-fachen ,,Vereinigungsfolge'' \(g_{(m)}\) übergegangen; \(g_{(m)}\equiv g_{m_1,\ldots, m_M}\) bestehe aus allen Werten, die irgendeinem \(a_{m'_1, \ldots,m'_M}\) mit \(m'_1 > m_1,\ldots, m'_M > m_M\) zu kommen. Es gilt der Satz: Der endliche Limes einer \(M\)-fachen Größenfolge \(a_{(m)}\) ist der Durchschnitt aller Hüllgrößen \(g_{(m)}\square\). Die Zuordnung einer variablen Größe zur stetigen Zahlenvariablen \(\xi\) wird nun mit \(a(\xi)\) bezeichnet; die Gesamtheit der Werte \(a(\xi)\), die den Werten \(\xi\) einer gegebenen Größe \(x\) zugeordnet sind, bilden eine mit \(a(x)\) bezeichnete Größe. Indem nun das abgeschlossene Intervall \(-\zeta,\zeta\) als Größe mit dem Symbol \(\theta\zeta\) belegt wird, läßt sich der Limes \(\left(\lim_{\xi\to\xi_0}\right)a(\xi)\) definieren als der Durchschnitt aller Hüllen \(a[\xi_0+\theta(\xi-\xi_0)] \square\). Der genannte Satz liefert sodann unmittelbar die Umwandlung in den endlichen Limes einer Größenfolge: \[ \left(\lim_{\xi\to\xi_0}\right)a(\xi)=\left(\lim_{m\to\infty}\right)a\left(\xi_0+\frac{\theta}{m}\right). \] Endlich wird der Funktionsbegriff ganz im Sinne des quantity-Standpunkts erweitert: Einer beliebigen variablen Größe \(x\) (mit stetig variierenden Werten) wird eine variable Größe \(a(x)\) zugeordnet, wobei für \(x' \subset x\) auch \(a(x') \subset a(x)\) gelten soll; \(a(x)\) heißt dann eine contractive many-valued function of a many-valued variable. Für eine solche Funktion gilt bei evidenter Verallgemeinerung der Definition des Limes die der letztangeführten Gleichung entsprechende Identität \[ \left(\lim_{x\to x_0}\right) a(x) =\left(\lim_{m\to\infty}\right)a\left(x_0+\frac{\theta}{m}\right). \] Zu Ausgang der Arbeit wird kurz angedeutet, wie etwa eine derartige Definition des Limes sich für die Zwecke der Theorie der Riemannschen und Lebesgueschen Integration weiter verallgemeinern lasse.
scientific article; zbMATH DE number 3000013