Decomposizione delle espressioni differenziali lineari omogenee in prodotti di fattori simbolici e applicazione relativa allo studio delle equazioni differenziali lineari
Der Verf. berücksichtigt eine homogene Linearkombination \(L[u]\) der \(n\) ersten Ableitungen einer Funktion \(u(x)\), mit dem Koeffizienten von \(u^{(n)}\) gleich 1 und den übrigen Koeffizienten gleich stetigen Funktionen von \(x\), als das symbolische Produkt eines linearen Differentialoperators \(n\)-ter Ordnung \(L\) mit der Funktion \(u(x)\); er untersucht die symbolische Teilbarkeit eines solchen Differentialoperators durch analoge Differentialoperatoren von kleineren Ordnungen, was eine Verallgemeinerung der Theorie der Teilbarkeit von Polynomen darstellt, zu welcher man zurückgeführt wird, sobald die sämtlichen Koeffizienten konstant sind. Das Hauptresultat ist, daß jeder Differentialoperator \(n\)-ter Ordnung \(L\) in ein Produkt von \(n\) Teilern 1. Ordnung -- im allgemeinen mit komplexen Koeffizienten -- zerlegbar ist. Der Beweis dafür beruht auf einer Identität, für deren Gültigkeit ein System von \(n\) Integralen \(u_1, u_2, \ldots, u_n\) der Gleichung \(L[u] = 0\) vorhanden sein soll, mit der Eigenschaft, daß für jedes \(k\) von \(1\) bis \(n\), die Wronskische Determinante von \(u_1, u_2, \ldots, u_k\) immer von Null verschieden ist. Mit Hilfe derselben Identität wird auch bewiesen: notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß die sämtlichen Teiler 1. Ordnung reell seien, ist, daß jedes Integral von \(L[u] = 0\) nicht mehr als \(n-1\) Nullstellen hat. Aus der Zerlegung von \(L\) in Teiler 1. Ordnung folgt, daß die Gleichung \(L[u] = 0\) immer \(n\) Integrale der Form \(e^{\lambda+i\xi}\) besitzt, wobei \(\lambda\) und \(\xi\) stetige Funktionen von \(x\) sind, und aus dieser Form kann man die Verallgemeinerung der klassischen Sätze von Sturm, für beliebiges \(n\), sofort ableiten. Endlich kommt eine Anwendung der allgemeinen Theorie auf die Sonderfälle \(n=3\), \(n=4\).
scientific article; zbMATH DE number 3000022