Über die Ränderzuordnung bei konformen Abbildungen
type: Item
instance of: scholarly article
title: Über die Ränderzuordnung bei konformen Abbildungen
zbMATH Open document ID: 0001.01902
DOI: 10.1007/BF01457932
author: W. Seidel
published in: Mathematische Annalen
publication date: 1931-01-01T00:00:00Z
full work available at URL: https://eudml.org/doc/159460
review text: Die Arbeit behandelt vor allem das Randverhalten der Ableitungen einer im Einheitskreise (E.K.) \(| z| < 1\) regulären Funktion \(w = f(z)\), welche diesen auf gewisse einfach zusammenhängende Gebiete \(G\) abbildet. Im 1. Kapitel wird zunächst der bekannte Satz von Fatou über die Existenz von Randwerten einer im E.K. beschränkten analytischen Funktion auf dem von \textit{C. Carathéodory} [Math. Ann. 73, 305--320 (1913; JFM 44.0757.01)] angegebenen Wege bewiesen. Daran werden einige (z. T. bekannte) Folgerungen geknüpft: Die in \(| z| < 1\) reguläre Funktion \(f(z)\) hat fast überall auf \(| z|=1\) bei nichttangentieller Annäherung Randwerte \(f(e^{i\theta})\), wenn a) \(\text{Re}\, f(z)\geq 0\) in \(| z| < 1\) oder b) \(\int_0^{2\pi} | f(re^{i\theta})|\,d\theta < k\) für alle \(r\) mit \(0<r<1\) gilt, wo \(k\) von \(r\) frei ist ([\textit{A. Plessner}, Zur Theorie der konjugierten trigonometrischen Reihen. Inaug. Diss. Gießen 1923, Mitt. Math. Sem. Gießen, Heft 10, 36 S. (1923; JFM 49.0204.02)]; s. auch die zitierte Arbeit von \textit{F. Riesz}), oder c) \(f(z)\) in \(| z| < 1\) schlicht ist. Im Falle b) ist \(f(e^{i\theta})\) integrabel. Im 2. Kapitel, in dem die eigentlichen Untersuchungen beginnen, wird zunächst die Abbildung von Gebieten \(G\) mit rektifizierbarer Randkurve \(C\) systematisch behandelt und hierbei vor allem das Resultat gewonnen (von dem Teile bereits von anderen Autoren [\textit{F. Riesz} und \textit{M. Riesz}, C. R. du quatrième Congr. des Math. Scand., Stockholm 1916, 27--44 (1916; JFM 47.0295.03); \textit{F. Riesz}, Math. Z. 18, 87--95 (1923; JFM 49.0225.01), siehe insbesondere S. 94, 95; \textit{L. Bieberbach}, Berl. Ber. 1924, 181--188 (1924; JFM 50.0640.01)] her bekannt sind): \(f(z)\) sei in \(| z| < 1\) regulär und schlicht. Dann ist notwendig und hinreichend dafür, daß der Rand des Bildgebietes von \(f(z)\) eine stetige, rektifizierbare Kurve ist, daß \(\int_0^{2\pi} | f(re^{i\theta})| r\,d\theta < l\), \(l> 0\), für alle \(r < 1\) gi…
Mathematics Subject Classification ID: 30C35
zbMATH DE Number: 3000035
zbMATH Keywords: theory of analytical functions
Wikidata QID: Q29029825
MaRDI profile type: Publication
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description: scientific article; zbMATH DE number 3000035