Über eine asymptotische Eigenschaft der Ableitungen der ganzen Funktionen von den Geschlechtern 1 und 2 mit einer endlichen Anzahl von Nullstellen
Ist \(f(z)\) ein Polynom \(k\)-ten Grades \(z^k + p_2 z^{p-2} +\ldots\) und bezeichnet man mit \(e^z f_n(z)\) die \(n\)-te Ableitung von \(e^z f(z)\), so haben die Nullstellen von \(f_n(z)\) für \(n\to\infty\) nur reelle asymptotische Grenzlagen. Hat \(f(z)\) insbesondere nur reelle Koeffizienten, so sind sogar alle Wurzeln von \(f_n(z)\) reelle Zahlen, wenn \(n\) größer ist als eine von den genannten Koeffizienten abhängige Konstante. Die Nullstellen der Ableitungen von \(e^{-\frac{z^k}{2}}f(z)\) nähern sich für \(n\to\infty\) den Nullstellen der Hermiteschen Polynome \(H_{n+k}(z)\), wobei die Abweichung absolut kleiner als \(\frac{|\alpha_1| (1+\varepsilon_n)}{n+k}\) ist, bei \(\varepsilon_n\to 0\). Der Beweis stützt sich für \(e^z f(z)\) auf die Tatsache, daß bei genügend großem \(n\) alle Wurzeln von \(f_n(z)\) sich nach fallenden Potenzen von \(n^{\frac12}\) entwickeln lassen, und daß sie sich den Nullstellen von \(\frac{d^n}{dz^n} (z^ke^z)\) anschmiegen. Für \(e^{-\frac{z^k}{2}}f(z)\) wird die \(n\)-te Ableitung \(f_n(z)\) auf die Form \((1 + A) H_{n+k}(z) + (\alpha_1+A_1) H_{n+k-1}(z)\) gebracht, wo \(A\) und \(A_1\) Ausdrücke bedeuten, die mit wachsendem \(n\) zu Null konvergieren und \(\alpha_1\), eine von \(n\) und \(z\) unabhängige Konstante bedeutet. Ähnliche Probleme für Funktionen \(e^{Q(z)}f(z)\), wo \(Q(z)\) ein Polynom \(q\)-ten Grades \((q\geq 2)\) ist, hat \textit{G. Pólya} in [Math. Z. 12, 36--60 (1922; JFM 48.0370.02)] untersucht.
scientific article; zbMATH DE number 3000039