Über ein algebraisches Problem von Herrn Hilbert. I
Die Frage, die Verf. sich gestellt hat, lautet so: Es sei eine algebraische Gleichung \(n\)-ten Grades \(f(x)= 0\) mit den unbeschränkt veränderlichen Koeffizienten \(p_1, p_2, \ldots, p_n\) gegeben. Man finde eine Resolvente gleichen Grades \(\varphi(y) = 0\) derart, daß jede Wurzel \(x_1\) der ersteren Gleichung sich rational durch die Koeffizienten \(p_i\), eine Wurzel \(y_1\) der Resolvente and evtl. weitere vorgegebene Irrationalitäten ausdrückt, wobei die Koeffizienten der Resolvente \(\varphi(y)\) Funktionen von einer möglichst kleinen Anzahl \(k\) von Parametern sein sollen. Das Problem wird zurückgeführt auf 2 andere: 1. das Problem der Einbettung der Galoisschen Gruppe \(\mathfrak G\) von \(f(x)\) als Permutationsgruppe der Wurzeln \(x_1, \ldots, x_n\), in eine kontinuierliche Transformationsgruppe des \(x\)-Raumes; 2. die Auffindung eines Imprimitivitätssystems \(u_1= C_1\), \(u_2 = C_2, \ldots, u_k= C_k\) für diese Transformationsgruppe, wo die \(u_1, \ldots, u_k\) algebraische Funktionen der \(x_1, \ldots, x_n\) sind, in möglichst kleiner Anzahl \(k\), aber so, daß keine Permutation von \(\mathfrak G\) das System der algebraischen Funktionen \(u_1, \ldots, u_k\) invariant läßt oder in ein konjugiertes Funktionensystem überführt. Behauptet wird, daß jedes solche Funktionensystem auf eine Resolvente der obigen Art führt and umgekehrt.
scientific article; zbMATH DE number 3000132