Untersuchungen zum Hilbertschen Irreduzibilitätssatz
Ist \(f(x,t)= \prod_{i=1}^l f_i(x,t)\) die Zerlegung des Polynoms \(f(x,t)\) der Unbestimmten \(x\) und des Parameters \(t\) mit Koeffizienten aus dem Körper \(K\) in irreduzible Faktoren über \(K(t)\), so sichert der Hilbertsche Irreduzibilitätssatz für den Fall, daß \(K\) der Körper der Rationalzahlen, bekanntlich die Existenz unendlich vieler \(t^*\) aus \(K\), so daß alle als Polynome in \(K\) irreduzibel bleiben. Es wird die Frage aufgeworfen, wieweit diese kurz als H.I. bezeichnete Aussage für beliebige abstrakte Körper gilt. Man überzeugt sich rasch, daß sie zu bestehen aufhört, wenn \(K\) algebraisch-abgeschlossen oder ein Körper von endlichem Index unter der algebraischen algebraisch-abgeschlossenen Erweiterung ist, ferner bei solchen \(K\), die bei festem natürlichen \(n\) zu jedem ihrer Elemente wenigstens eine \(n\)-te Wurzel enthalten, sowie beim Körper der \(p\)-adischen und dem der darin enthaltenen absolut algebraischen Zahlen; schließlich gilt sie nicht bei endlichen Körpern. Nach diesen negativen Feststellungen wird -- im folgenden stets beliebige abstrakte Körper mit unendlich vielen Elementen vorausgesetzt -- der H.I. für mehrere Unbestimmte und mehrere Parameter zurückgeführt auf den einer einzigen Unbestimmten und eines einzigen Parameters, indem bewiesen wird: 1. Der H.I. für mehrere Unbestimmte und mehrere Parameter gilt in allen und nur den Körpern, in denen er für eine Unbestimmte und einen Parameter gilt. In Anlehnung an einen Gedanken von F. Mertens wird das Kriterium aufgestellt: 2. Notwendig und hinreichend für die Gültigkeit des H.I. in einem Körper \(K\) ist die ausnahmslose Gültigkeit des folgenden: Hat das Polynom \(g(x,t)\) aus \(K\) keine Nullstelle in \(K(t)\), so gibt es unendlich viele \(t^*\) in \(K\), so daß auch \(g(x,t^*)\) keine Nullstelle in \(K\) hat. Weiter hat man: 3. Gilt der H.I. in \(K\), so auch in jeder endlichen separablen Erweiterung über \(K\); bei jeder endlichen inseparablen sicher noch dann, wenn \(K\) über dem zugehörigen Körper \(K^p\) der \(p\)-ten Potenzen seiner Elemente endlich und vom Grade \(p\) ist (\(p\) die Charakteristik von \(K\)). Zuletzt wird mittels 2. der Satz bewiesen: 4. Der H.I. gilt für solche Körper \(K\), die aus einem unendlichen Teilkörper durch eine rein transzendente Erweiterung gewonnen werden können.
scientific article; zbMATH DE number 3000133