On the composition of a prime transcendental function and a prime polynomial
On dit que la fonction \(F\) méromorphe sur \(\mathbb{C}\) est première si dans toute factorisation \(F=f\circ g\), où \(g\) est entière et \(f\) méromorphe, \(g\) est un polynôme de degré 1 ou \(f\) est homographique. Les auteurs prouvent les résultats suivants, où toutes les fonctions considérées (sauf L) sont entières et non polynomiales de degré 1: Théorème 1: Si \(f\), transcendante, et \(p\) polynomiale sont premières et non périodiques. Si \(p\circ f=q\circ g\), où \(g\) est transcendante, alors il existe un polynôme \(L\) de degré 1 tel que \(p=q\circ L^{-1}\) et \(f=L\circ g\). Théorème 2: On a la même conclusion si \(p\circ f=q\circ g\), où \(f\) est transcendante et première et où \(p\), premier, et \(q\) sont des polynômes. Théorème 3: Si \(f\), transcendante, et \(p\) polynomiale de degré \(\neq 3\), 6 sont premières et si \(f\circ p=g\circ q\), où \(q\) est polynomiale, alors il existe un polynòme \(L\) de degré 1 tel que \(p=L^{-1} \circ q\) et \(f=g\circ L\). Théorème 4: Si \(f\) et \(g\) sont transcendantes, si \(p\) et \(q\) sont polynomiales et si on a \(f\circ p=q\circ g\), alors ou bien \(g=G\circ p\), ou bien \(g=G\circ p\), ou bien \(\deg(p)\leq \deg(q)\). Les théorèmes 1, 2 et 4 sont obtenus assez rapidement à partir de résultats antérieurs [\textit{A. Eremenko} and \textit{L. A. Rubel}, Adv. Math. 124, No. 2, 334-354 (1996; Zbl 0871.30029); \textit{T. W. Ng} and \textit{C.-C. Yang}, Analysis 17, No. 4, 387-393 (1997; Zbl 0890.30020); \textit{W. H. J. Fuchs} and \textit{G. D. Song}, Ann. Acad. Sci. Fenn., Ser. A I, Math. 10, 173-185 (1985; Zbl 0583.30025)]. Le théorème 3, beaucoup plus délicat utilise une méthode de dynamique holomorphe introduite par \textit{S. A. Lysenko} [Dopov. Akad. Nauk Ukr. 1997, 31-34 (1997; Zbl 0926.39012)].
scientific article; zbMATH DE number 1463772