A representation theorem for the group of autoprojectivities of an Abelian \(p\)-group of finite exponent
type: Item
instance of: scholarly article
title: A representation theorem for the group of autoprojectivities of an Abelian \(p\)-group of finite exponent
zbMATH Open document ID: 0963.20011
DOI: 10.1007/BF01783678
published in: Annali di Matematica Pura ed Applicata. Serie Quarta
publication date: 2001-04-02T00:00:00Z
review text: Die Verff. studieren die Gruppe \(P(G)\) der Autoprojektivitäten einer abelschen \(p\)-Gruppe \(G\) von endlichem Exponenten \(p^n\). Nach einem alten Satz von Baer und einer Arbeit von \textit{C. Holmes} [Arch. Math. 51, No. 6, 491-495 (1988; Zbl 0641.20020)] sind dafür nur noch Gruppen der Form \(G=H\times C\) mit \(H=\langle a\rangle\times\langle b\rangle\) und \(p^n=o(a)\geq o(b)=p^m\geq p^s=\text{Exp }C\neq 1\) interessant, bei denen \(n>m\) oder \(n=m>s\) ist. Die Idee der Verff. ist, die Gruppe \[ R(G):=\{\sigma\in P(G)\mid H^\sigma=H\text{ und }X^\sigma=X\text{ für alle }X\leq\Omega_s(G)\} \] zu betrachten. Sie zeigen, daß \(P(G)=R(G)\cdot PA(G)\) ist, wobei \(PA(G)\) die Gruppe der von den Automorphismen induzierten Autoprojektivitäten ist, und daß \(R(G)\) isomorph zu einer Untergruppe von \(P(H)\) ist. Im sehr technischen zweiten Teil der Arbeit wird dann diese Untergruppe genau bestimmt.
Mathematics Subject Classification ID: 20E15
Mathematics Subject Classification ID: 20D30
Mathematics Subject Classification ID: 20K10
Mathematics Subject Classification ID: 06C05
zbMATH DE Number: 1471597
zbMATH Keywords: groups of autoprojectivities
zbMATH Keywords: Abelian \(p\)-groups
zbMATH Keywords: lattices of subgroups
author: Mauro Costantini
author: Charles S. Holmes
author: G. Zacher
reviewed by: Roland Schmidt
MaRDI profile type: Publication
cites work: Automorphisms of the lattice of subgroups of \(Z_{p\quad m}\times Z_{p\quad n}\)
cites work: Q3941589
cites work: Normal Subgroups and Lattice Isomorphisms of Finite Groups†
cites work: Subgroup lattices of groups
cites work: Dualities of groups
full work available at URL: https://doi.org/10.1007/bf01783678
OpenAlex ID: W2053193973
description: scientific article; zbMATH DE number 1471597