A constructive approach to Spiegelung relations between 3-ranks of absolute ideal class groups and congruent ones modulo \((3)^2\) in quadratic fields
Cet article étudie dans un cas particulier les correspondances de dualité données par les théorèmes de réflexion (encore appelées ``Spiegelungsatz''). A tout entier \(d\not\in \mathbb{N}^2\cup (-3) \mathbb{N}^2\), Y. Kishi associe les deux corps quadratiques \(k= \mathbb{Q}(\sqrt{d})\) et \(k'= \mathbb{Q}(\sqrt{-3d})\). Il donne ensuite une description explicite des relations liant le 3-rang du groupe des classes de \(k\) (resp. \(k'\)) en fonction du 3-rang du groupe des classes de rayon \((3)^2\) de \(k'\) (resp. \(k\)). L'originalité de ce travail provient de son aspect constructif, puisque les démonstrations des principaux résultats reposent sur la détermination explicite des \({\mathcal S}_3\)-extensions de \(\mathbb{Q}\), qui contiennent \(k\) (ou \(k'\)), qui ne sont pas ramifiées en les places au dessus de 3 sur \(k\) (ou \(k'\)), et qui sont aussi des extensions d'un corps cubique cyclique \(K\) dont la 3-valuation du discriminant n'est pas 5. Cependant, la liste des références est certainement à compléter: \textit{G. Gras} [J. Théor. Nombres Bordx. 10, 399-499 (1998; Zbl 0949.11058)] avait deux ans plus tôt, publié une vaste généralisation du ``Spiegelungsatz'' de Leopoldt.
scientific article; zbMATH DE number 1486243