Circles and squares modulo \(p\)
In der Zusammenfassung seiner Arbeit schreibt der Autor: ``Bei diesem Artikel handelt es sich um ein Plädoyer für die Einbindung geometrischer Methoden in die elementare Algebra und Zahlentheorie. Vor dem Hintergrund des Gruppengesetzes auf Kegelschnitten wird dabei eine Brücke geschlagen von pythagoreischen Tripeln über das quadratische Reziprozitätsgesetz bis hin zu modernen Faktorisierungsalgorithmen.'' Nach einer kurzen Einführung erläutert der Autor zunächst im ersten Abschnitt eine arithmetische und eine analytische Methode zur Bestimmung aller rationalen Punkte auf dem Einheitskreis, die ja bekanntlich den primitiven pythagoreischen Tripeln entsprechen. Anschließend beschreibt er die bekannte geometrische Interpretation des analytischen Beweises. Es folgen ausführliche geschichtliche Anmerkungen und Verweise, insbesondere über die rationale Parametrisierung von Kegelschnitten und deren Verwendung bei der Integration. In Abschnitt 2 wird das Zählen von rationalen Punkten auf dem Einheitskreis über verschiedenen kommutativen Ringen behandelt. Im Mittelpunkt steht dabei der Fall des endlichen Restklassenringes \(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}\) und hierbei wiederum der Fall \(m=\) Primzahl. Dabei ergeben sich erwartungsgemäß interessante Verbindungen zum quadratischen Reziprozitätsgesetz, die ausführlich dargelegt werden. Abschnitt 3 ist dem Gruppengesetz auf dem Einheitskreis über kommutativen Ringen gewidmet. Kernstück dieses Abschnittes ist die Beschreibung eines Algorithmus zur Faktorisierung von Zahlen. Dabei erweist es sich als günstig, Gruppengesetze auch auf anderen Kegelschnitten heranzuziehen. In Abschnitt 4 wird dann gezeigt, daß es möglich ist, auf jedem irreduziblen Kegelschnitt eine Gruppenstruktur einzuführen. Die damit verbundenen geometrischen und algebraischen Konstruktionen sowie der historische Abriss über Versuche, solche Gruppengesetze einzuführen, sind interessant und aufschlussreich. Zum Abschluss gibt der Autor einige Hinweise auf aktuelle Forschungsarbeiten zur Thematik seines Artikels. Nach Meinung des Referenten handelt es sich um eine sehr gut lesbare und interessante Arbeit, die auf elementare und elegante Weise das Zusammenspiel arithmetischer, algebraischer und geometrischer Methoden beschreibt.
scientific article; zbMATH DE number 1508090