Algebraic independence of the values of \(E\)-functions at singular points and Siegel's conjecture
In der vorliegenden Arbeit unternimmt es Verf., die Siegel-Shidlovskiische Methode dahingehend auszubauen, dass sie auch arithmetische Aussagen über die Werte Siegelscher \(E\)-Funktionen und ihrer Ableitungen an \textit{singulären} Punkten des Differentialgleichungssystems liefert. Genauer lautet der Hauptsatz folgendermaßen, wobei der homogene und der inhomogene Fall zusammengefasst formuliert seien: Für \(m \geq 2\) (bzw. \(m\geq 1\)) seien die \(E\)-Funktionen \((\ast): f_1,\ldots,f_m\) eine Lösung des Systems \(y'_k= (Q_{k0}+) \sum^m_{i=1} Q_{ki} y_i\), \(k = 1,\ldots,m\), mit allen \(Q_{ki}\in{\mathbb{C}}(z)\). Der homogene Transzendenzgrad (bzw. der Transzendenzgrad) der Funktionen \((\ast)\) über \({\mathbb{C}}(z)\) sei \(\ell\in\{0,\ldots,m\}\); weiter sei \(\alpha\in\overline{\mathbb{Q}}^\times\). Dann ist der homogene Transzendenzgrad (der Transzendenzgrad) der Zahlen \(f_1(\alpha),\ldots,f_m(\alpha), f'_1(\alpha),\ldots, f'_m(\alpha),\ldots\) ebenfalls gleich \(\ell\). Mit Hilfe dieses Resultats gelingt es Verf. weiter, die Richtigkeit einer Siegelschen Vermutung [vgl. \textit{A. B. Shidlovskij}, Transcendental numbers, de Gruyter, Berlin (1989; Zbl 0689.10043)] im Falle von linearen Differentialgleichungen \textit{erster} Ordnung zu beweisen: Jede \(E\)-Funktion \(f\), die einer derartigen Differentialgleichung mit Koeffizienten in \({\mathbb{C}}(z)\) genügt, hat die Form \(f(z) = P(z)\varphi_\lambda(\alpha z)+Q(z)\) mit \(P,Q\in{\overline{\mathbb{Q}}}[z], \alpha\in{\overline{\mathbb{Q}}}\) und \(\varphi_\lambda(z):= \sum_{n\geq 0} z^n/(\lambda+1)\ldots(\lambda+n)\) mit \(-\lambda\in{\mathbb{Q}}\setminus{\mathbb{N}}\).
values of \(E\)-functions at singular points
scientific article; zbMATH DE number 1517696