Some limit theorems for a Dirichlet series related to the Euler function
Es sei \(\varphi(m)\) \((m\in \mathbb N)\) die Eulersche Funktion, \(F(s)=\sum_{k=1}^{\infty}{\varphi(k)}^{-s}\) \((\Re(s)>1)\), \({\mathcal B}(S)\) die Klasse der Borelschen Mengen eines Raums \(S\) und \({\nu}_T^t({\mathcal A}(t))= T^{-1} \text{mes} \{t\in [0,T] :{\mathcal A}(t)\}\) für eine Aussage \({\mathcal A}(t)\), wo \(\operatorname {mes} M\) das Lebesguesche Maß einer Lebesgue-meßbaren Menge \(M\) bezeichnet. Für \(D=\{s\in {\mathbb C} : \text{Re}(s)>1\}\) sei \(H(D)\) der Raum der auf \(D\) analytischen Funktionen, der mit der Topologie der gleichmäßigen Konvergenz auf kompakten Mengen versehen ist. Definiert man das Wahrscheinlichkeitsmaß \(P_T(A)={\nu}_T^{\tau}(F(s+i\tau)\in A)\) \((A\in {\mathcal B}(H(D)))\), so existiert nach \textit{B. Bagchi} [Ph.D. Thesis, Indian Statistical Institute, Calcutta (1981)] ein Wahrscheinlichkeitsmaß \(P\) auf \((H(D),{\mathcal B}(H(D)))\), so daß \(P_T\) mit \(T \to \infty\) schwach gegen \(P\) konvergiert. Unter der Annahme geeigneter Vermutungen überträgt der Verf. dieses Ergebnis auf den Bereich \(\text{Re}(s)\leq 1\). Dazu wird \(F(s)=K(s)B(s)\) mit \[ K(s)=\sum_{m=1}^{\infty}{{k_m}\over {m^s}},\quad B(s)=\prod_{p> 2}\sum_{r=0}^{\infty}{1\over {(p-1)^{rs}}}=\sum_{m=1}^{\infty}{{b_m}\over {m^s}} \] gesetzt, wo \(K(s)\) für \(\text{Re}(s)>1/2\) absolut konvergiert. Damit lassen sich die folgenden Vermutungen formulieren. Vermutung 1. Es existieren Konstanten \(\kappa,\beta\) mit \[ 0<\kappa<1 ,\quad \sum_{m\leq x}b_m = \beta x + O(x^{1-\kappa})\quad (x \to \infty). \] Vermutung 2. Es existiert eine Konstante \(\eta\) mit \[ 0<\eta<\kappa,\quad \sum_{m\leq x}b_m^2 =O(x^{1+\eta})\quad(x \to \infty). \] Vermutung 3. Es existiert eine Konstante \({\eta}_1\) mit \(0<{\eta}_1<1-\kappa\) und \(\sum_{m\leq x}h_m = O(x^{{\eta}_1})\) \((x \to \infty)\), wobei die \(h_m\) durch \[ \prod_{p> 2}\Big(1-{{1}\over {(p-1)^s}}\Big)=\sum_{m=1}^{\infty}{{h_m}\over {m^s}}\quad (\text{Re}(s)>1) \] definiert sind. Der Verf. beweist damit die folgenden Sätze. Satz 1. Die Vermutungen 1 und 2 seien wahr. \(Q_T\) sei das durch \(Q_T(A)={{\nu}_T^t}(F(1+it)\in A)\) \((A\in {\mathcal B}({\mathbb C}))\) definierte Wahrscheinlichkeitsmaß. Dann existiert ein Wahrscheinlichkeitsmaß \(Q\) auf \(({\mathbb C},{\mathcal B}({\mathbb C}))\), so daß \(Q_T\) mit \(T \to \infty\) schwach gegen \(Q\) konvergiert. Satz 2. Die Vermutungen 1, 2 und 3 seien wahr. Mit \[ H(s)=\sum_{p> 2}\sum_{m=2}^{\infty}{{1}\over {m(p-1)^{ms}}} \quad (\text{Re}(s)>1/2), \] \[ h(t)=2\sum_{p>2}{\sin({t\over 2}\log(1-{1\over p}))\sin({t\over 2}\log(p^2-p))\over p-1} (t\in {\mathbb R}) \] sei \(L_T(x):={\nu}_T^t(|F(1+it)|\exp\{- \text{Re}(H(1+it)) + h(t)\} <x)\) \((x>0)\). Dann existiert eine Verteilungsfunktion \(L(x)\), so daß \(L_T(x)\) mit \(T \to \infty\) schwach gegen \(L(x)\) konvergiert, und es existieren positive Konstanten \(c_1,c_2,c_3\) mit \[ 1-L(x)\leq \exp\{-c_1\exp(c_2x^{c_3})\}\quad (x> 0). \] In den Beweisen werden der Mittelwertsatz von H. L. Montgomery und R. C. Vaughan über Dirichletsche Polynome [vgl. \textit{A. Ivić}, The Riemann Zeta-Function, Wiley, New York (1995; Zbl 0556.10026)] und Methoden des Verf. [vgl. \textit{A. Laurinčikas}, Limit Theorems for the Riemann Zeta-Function, Kluwer, Dordrecht (1996; Zbl 0845.11002)] angewendet.
scientific article; zbMATH DE number 1542640