Some limit theorems for a Dirichlet series related to the Euler function
type: Item
instance of: scholarly article
title: Some limit theorems for a Dirichlet series related to the Euler function
zbMATH Open document ID: 0965.11040
DOI: 10.1007/BF02465847
published in: Lithuanian Mathematical Journal
publication date: 2001-03-23T00:00:00Z
review text: Es sei \(\varphi(m)\) \((m\in \mathbb N)\) die Eulersche Funktion, \(F(s)=\sum_{k=1}^{\infty}{\varphi(k)}^{-s}\) \((\Re(s)>1)\), \({\mathcal B}(S)\) die Klasse der Borelschen Mengen eines Raums \(S\) und \({\nu}_T^t({\mathcal A}(t))= T^{-1} \text{mes} \{t\in [0,T] :{\mathcal A}(t)\}\) für eine Aussage \({\mathcal A}(t)\), wo \(\operatorname {mes} M\) das Lebesguesche Maß einer Lebesgue-meßbaren Menge \(M\) bezeichnet. Für \(D=\{s\in {\mathbb C} : \text{Re}(s)>1\}\) sei \(H(D)\) der Raum der auf \(D\) analytischen Funktionen, der mit der Topologie der gleichmäßigen Konvergenz auf kompakten Mengen versehen ist. Definiert man das Wahrscheinlichkeitsmaß \(P_T(A)={\nu}_T^{\tau}(F(s+i\tau)\in A)\) \((A\in {\mathcal B}(H(D)))\), so existiert nach \textit{B. Bagchi} [Ph.D. Thesis, Indian Statistical Institute, Calcutta (1981)] ein Wahrscheinlichkeitsmaß \(P\) auf \((H(D),{\mathcal B}(H(D)))\), so daß \(P_T\) mit \(T \to \infty\) schwach gegen \(P\) konvergiert. Unter der Annahme geeigneter Vermutungen überträgt der Verf. dieses Ergebnis auf den Bereich \(\text{Re}(s)\leq 1\). Dazu wird \(F(s)=K(s)B(s)\) mit \[ K(s)=\sum_{m=1}^{\infty}{{k_m}\over {m^s}},\quad B(s)=\prod_{p> 2}\sum_{r=0}^{\infty}{1\over {(p-1)^{rs}}}=\sum_{m=1}^{\infty}{{b_m}\over {m^s}} \] gesetzt, wo \(K(s)\) für \(\text{Re}(s)>1/2\) absolut konvergiert. Damit lassen sich die folgenden Vermutungen formulieren. Vermutung 1. Es existieren Konstanten \(\kappa,\beta\) mit \[ 0<\kappa<1 ,\quad \sum_{m\leq x}b_m = \beta x + O(x^{1-\kappa})\quad (x \to \infty). \] Vermutung 2. Es existiert eine Konstante \(\eta\) mit \[ 0<\eta<\kappa,\quad \sum_{m\leq x}b_m^2 =O(x^{1+\eta})\quad(x \to \infty). \] Vermutung 3. Es existiert eine Konstante \({\eta}_1\) mit \(0<{\eta}_1<1-\kappa\) und \(\sum_{m\leq x}h_m = O(x^{{\eta}_1})\) \((x \to \infty)\), wobei die \(h_m\) durch \[ \prod_{p> 2}\Big(1-{{1}\over {(p-1)^s}}\Big)=\sum_{m=1}^{\infty}{{h_m}\over {m^s}}\quad (\text{Re}(s)>1) \] definiert sind. Der Verf. beweist damit di…
Mathematics Subject Classification ID: 11M41
Mathematics Subject Classification ID: 11K99
zbMATH DE Number: 1542640
zbMATH Keywords: Dirichlet series
zbMATH Keywords: probabilistic theory
zbMATH Keywords: limit theorems
zbMATH Keywords: distribution functions
author: Antanas Laurinčikas
reviewed by: Wolfgang Haneke
MaRDI profile type: Publication
cites work: Q4378060
cites work: The distribution of values of the Euler function
cites work: Q5560061
cites work: Asymptotic distribution of Beurling's generalized integers
cites work: Some remarks on Euler’s 𝜙 function and some related problems
description: scientific article; zbMATH DE number 1542640