Équations différentielles invariantes sur les groupes et algèbres de Lie réductifs. (Invariant differential equations on reductive Lie groups and Lie algebras)
type: Item
instance of: scholarly article
title: Équations différentielles invariantes sur les groupes et algèbres de Lie réductifs. (Invariant differential equations on reductive Lie groups and Lie algebras)
zbMATH Open document ID: 0970.22009
author: Abderrazak Bouaziz
author: Nouri Kamoun
publication date: 2000-12-14T00:00:00Z
full work available at URL: http://www.numdam.org/item
full work available at URL: https://eudml.org/doc/75472
review text: Sei \(G\) eine reduktive Lie-Gruppe, die zur Harish-Chandra-Klasse gehört, und sei \({\mathfrak g}\) die Lie-Algebra von \({\mathfrak g}\). Für \(f\in C_c^ \infty({\mathfrak g})\) definiert man die orbitalen Integrale auf der regulären Menge \({\mathfrak g}_{reg}\) von \({\mathfrak g}\) durch \[ J_{\mathfrak g}(f)(x): =\biggl|\det \bigl(ad (X)\bigr)_{{\mathfrak g}/{\mathfrak h}}\biggr |^{1/2} \int_{G/H} f\bigl( Ad(g)X \bigr)d\dot g,\quad X\in {\mathfrak g}_{reg}, \] wobei \({\mathfrak h}\) die das Element \(X\) enthaltende Cartan-Unteralgebra von \({\mathfrak g}\) und \(H\) die zugehörige Cartan-Untergruppe von \(G\) ist. Die Funktionen \(J_{\mathfrak g}(f)\), \(f\in C_c^\infty ({\mathfrak g})\), sind \(\text{Ad} (G)\)-invariante \(C^\infty\)-Funktionen auf \({\mathfrak g}_{reg}\); den Raum dieser Funktionen, also das Bild von \(J_{\mathfrak g}\), hatte der erste Autor in einer früheren Arbeit [Invent. Math. 115, 163-207 (1994; Zbl 0814.22005)] charakterisiert und dadurch -- via Transposition -- eine Beschreibung der \(\text{Ad}(G)\)-invarianten Distributionen auf \({\mathfrak g}\) erhalten. In der vorliegenden Arbeit wird eine entsprechende Beschreibung der \(\text{Ad} (G)\)-invarianten Distributionen endlicher Ordnung gegeben. Mittels der Beschreibung der invarianten Distributionen wird die Frage nach der Lösbarkeit der Gleichung \(Du=v\) durch eine invariante Distribution \(u\) behandelt, wobei \(v\) eine invariante Distribution und \(D\) ein von 0 verschiedener \(\text{Ad} (G)\)-invarianter Differentialoperator mit konstanten Koeffizienten auf \({\mathfrak g}\) ist. Bei unipotenten Gruppenwirkungen existiert im allgemeinen keine invariante Lösung. (Siehe dazu ein Gegenbeispiel von \textit{M. Raïs} [C. R. Acad. Sci., Paris, Sér. A 273, 495-498 (1971; Zbl 0236.46047)]; vgl. auch die Arbeit [Math. Ann. 275, 169-184 (1986; Zbl 0593.58032)] des Referenten, wo für bestimmte unipotente Gruppenwirkungen ein Lösbarkeitskriterium angegeben ist, das sich auf eine endliche …
reviewed by: Rainer Felix
Mathematics Subject Classification ID: 22E30
Mathematics Subject Classification ID: 43A80
Mathematics Subject Classification ID: 22E60
zbMATH DE Number: 1544082
zbMATH Keywords: reductive Lie algebras
zbMATH Keywords: reductive Lie groups
zbMATH Keywords: invariant differential operators
zbMATH Keywords: invariant distributions
zbMATH Keywords: differential equations
MaRDI profile type: Publication
OpenAlex ID: W1992096569
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DOI: 10.5802/AIF.1808
published in: Annales de l’institut Fourier
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description: scientific article; zbMATH DE number 1544082