Équations différentielles invariantes sur les groupes et algèbres de Lie réductifs. (Invariant differential equations on reductive Lie groups and Lie algebras)
Sei \(G\) eine reduktive Lie-Gruppe, die zur Harish-Chandra-Klasse gehört, und sei \({\mathfrak g}\) die Lie-Algebra von \({\mathfrak g}\). Für \(f\in C_c^ \infty({\mathfrak g})\) definiert man die orbitalen Integrale auf der regulären Menge \({\mathfrak g}_{reg}\) von \({\mathfrak g}\) durch \[ J_{\mathfrak g}(f)(x): =\biggl|\det \bigl(ad (X)\bigr)_{{\mathfrak g}/{\mathfrak h}}\biggr |^{1/2} \int_{G/H} f\bigl( Ad(g)X \bigr)d\dot g,\quad X\in {\mathfrak g}_{reg}, \] wobei \({\mathfrak h}\) die das Element \(X\) enthaltende Cartan-Unteralgebra von \({\mathfrak g}\) und \(H\) die zugehörige Cartan-Untergruppe von \(G\) ist. Die Funktionen \(J_{\mathfrak g}(f)\), \(f\in C_c^\infty ({\mathfrak g})\), sind \(\text{Ad} (G)\)-invariante \(C^\infty\)-Funktionen auf \({\mathfrak g}_{reg}\); den Raum dieser Funktionen, also das Bild von \(J_{\mathfrak g}\), hatte der erste Autor in einer früheren Arbeit [Invent. Math. 115, 163-207 (1994; Zbl 0814.22005)] charakterisiert und dadurch -- via Transposition -- eine Beschreibung der \(\text{Ad}(G)\)-invarianten Distributionen auf \({\mathfrak g}\) erhalten. In der vorliegenden Arbeit wird eine entsprechende Beschreibung der \(\text{Ad} (G)\)-invarianten Distributionen endlicher Ordnung gegeben. Mittels der Beschreibung der invarianten Distributionen wird die Frage nach der Lösbarkeit der Gleichung \(Du=v\) durch eine invariante Distribution \(u\) behandelt, wobei \(v\) eine invariante Distribution und \(D\) ein von 0 verschiedener \(\text{Ad} (G)\)-invarianter Differentialoperator mit konstanten Koeffizienten auf \({\mathfrak g}\) ist. Bei unipotenten Gruppenwirkungen existiert im allgemeinen keine invariante Lösung. (Siehe dazu ein Gegenbeispiel von \textit{M. Raïs} [C. R. Acad. Sci., Paris, Sér. A 273, 495-498 (1971; Zbl 0236.46047)]; vgl. auch die Arbeit [Math. Ann. 275, 169-184 (1986; Zbl 0593.58032)] des Referenten, wo für bestimmte unipotente Gruppenwirkungen ein Lösbarkeitskriterium angegeben ist, das sich auf eine endliche Filtration im Raum der invarianten Distributionen stützt.) Die Autoren definieren nun im Raum der invarianten Distributionen auf \({\mathfrak g}\) eine endliche Filtration, die durch die Konjugationsklassen von Cartan-Unteralgebren bestimmt ist. Auf den Unterräumen dieser Filtration ergibt sich die Lösbarkeit aus dem klassischen Resultat von Malgrange-Ehrenpreis. Durch Zusammensetzung dieser Lösungen erhalten die Autoren für jede invariante Distribution \(v\) eine invariante Lösung \(u\); dabei kann sogar eine temperierte Lösung bzw. eine Lösung von endlicher Ordnung gefunden werden, falls \(v\) temperiert bzw. von endlicher Ordnung ist. Schließlich behandeln die Autoren noch die Frage der Existenz invarianter Lösungen der Gleichung \(Du=v\) auf der Gruppe selbst, wobei \(D\) ein biinvarianter Differentialoperator auf \(G\) ist. Im allgemeinen existiert eine invariante Lösung \(u\) nicht [\textit{A. Benabdallah}, Ann. Sci. Éc. Norm. Supér. (4) 17, 269-291 (1984; Zbl 0543.22006)]. Die Autoren können jedoch zeigen, daß die von \textit{A. Benabdallah} und \textit{F. Rouvière} [C. R. Acad. Sci., Paris, Sér. I 298, 405-408 (1984; Zbl 0564.22013)] gefundene hinreichende Bedingung für die Existenz einer invarianten Fundamentallösung von \(D\) auch hinreichend ist für die Lösbarkeit der Gleichung \(Du=v\) im Raum der invarianten Distributionen endlicher Ordnung.
scientific article; zbMATH DE number 1544082
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