Beitrag zur Theorie des Poissonschen Integrals über endlichen Gruppen. (Contribution to the theory of Poisson integrals over finite groups.)
Sei \(P_r(\theta)= \sum_{n\in\mathbb{Z}} r^{|n|} e^{in \theta }\), \(0\leq r<1\), der Poisson-Kern und \(f*P_r (\theta)\) das Poisson-Integral von \(f\) über der Kreisgruppe \(\mathbb{T}\). In [J. Funct. Anal. 37, 218-234 (1980; Zbl 0463.46024)] hatte \textit{F. B. Weissler} gezeigt, daß der Poisson-Kern ``hyperkontraktive Abschätzungen'' gestattet; und zwar definiert er im Fall \(1<p<q <\infty\) einen beschränkten Operator von \(L^p(\mathbb{T})\) nach \(L^q(\mathbb{T})\) der Norm 1 für \(r^2\leq (p-1)/(q-1)\) (im Fall \(p=2\) also für \(r\leq 1/ \sqrt {q-1})\). Der Autor untersucht nun entsprechende Eigenschaften für den Fall, daß endliche zyklische Gruppen an die Stelle der Kreisgruppe treten. Der Poisson-Kern ist dann durch Multiplikatoren der Form \(\sum r^{|j|} \chi^j\) zu ersetzen, wobei \(\chi\) ein primitiver Charakter der betreffenden zyklischen Gruppe ist. Als Hauptergebnis beweist der Autor, daß im Fall einer zyklischen Gruppe ungerader Ordnung \(\geq 5\) der Multiplikator \(\sum^2_{j=-2}r^{|j|} \chi^j\) einen beschränkten Operator von \(L^2\) nach \(L^{2 \ell}\) der Norm 1 definiert für ganzzahliges \(\ell\) und \(r\leq 1/ \sqrt{2\ell-1}\).
scientific article; zbMATH DE number 1747315