Beitrag zur Theorie des Poissonschen Integrals über endlichen Gruppen. (Contribution to the theory of Poisson integrals over finite groups.)
type: Item
instance of: scholarly article
title: Beitrag zur Theorie des Poissonschen Integrals über endlichen Gruppen. (Contribution to the theory of Poisson integrals over finite groups.)
zbMATH Open document ID: 1003.43003
author: Mats Erik Andersson
published in: Monatshefte für Mathematik
publication date: 2002-05-29T00:00:00Z
review text: Sei \(P_r(\theta)= \sum_{n\in\mathbb{Z}} r^{|n|} e^{in \theta }\), \(0\leq r<1\), der Poisson-Kern und \(f*P_r (\theta)\) das Poisson-Integral von \(f\) über der Kreisgruppe \(\mathbb{T}\). In [J. Funct. Anal. 37, 218-234 (1980; Zbl 0463.46024)] hatte \textit{F. B. Weissler} gezeigt, daß der Poisson-Kern ``hyperkontraktive Abschätzungen'' gestattet; und zwar definiert er im Fall \(1<p<q <\infty\) einen beschränkten Operator von \(L^p(\mathbb{T})\) nach \(L^q(\mathbb{T})\) der Norm 1 für \(r^2\leq (p-1)/(q-1)\) (im Fall \(p=2\) also für \(r\leq 1/ \sqrt {q-1})\). Der Autor untersucht nun entsprechende Eigenschaften für den Fall, daß endliche zyklische Gruppen an die Stelle der Kreisgruppe treten. Der Poisson-Kern ist dann durch Multiplikatoren der Form \(\sum r^{|j|} \chi^j\) zu ersetzen, wobei \(\chi\) ein primitiver Charakter der betreffenden zyklischen Gruppe ist. Als Hauptergebnis beweist der Autor, daß im Fall einer zyklischen Gruppe ungerader Ordnung \(\geq 5\) der Multiplikator \(\sum^2_{j=-2}r^{|j|} \chi^j\) einen beschränkten Operator von \(L^2\) nach \(L^{2 \ell}\) der Norm 1 definiert für ganzzahliges \(\ell\) und \(r\leq 1/ \sqrt{2\ell-1}\).
reviewed by: Rainer Felix
Mathematics Subject Classification ID: 43A22
Mathematics Subject Classification ID: 43A15
Mathematics Subject Classification ID: 43A70
Mathematics Subject Classification ID: 47B38
zbMATH DE Number: 1747315
zbMATH Keywords: Poisson integral
zbMATH Keywords: semigroup
zbMATH Keywords: cyclic group
MaRDI profile type: Publication
full work available at URL: s605-002-8255-5
OpenAlex ID: W1991123008
DOI: 10.1007/S605-002-8255-5
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description: scientific article; zbMATH DE number 1747315