Density of points with multiplicatively independent coordinates
type: Item
instance of: scholarly article
title: Density of points with multiplicatively independent coordinates
zbMATH Open document ID: 0996.11046
DOI: 10.1023/A:1012966409353
author: Francesco Amoroso
author: Sinnou David
published in: The Ramanujan Journal
publication date: 2002-06-19T00:00:00Z
review text: Un théorème de S. Zhang compare le quotient de la hauteur d'une variété par son degré au minimum essentiel des hauteurs de ses points (plus grand réel \(\theta\) tel que l'ensemble des points de hauteurs \(<\theta\) ne soit pas Zariski dense). Les auteurs montrent que dans le cas de la hauteur normalisée d'une puissance du groupe multiplicatif, la même comparison tient lorsqu'on se restreint aux points à coordonnées multiplicativement indépendantes. Combinant ce résultat avec un de leurs résultats antérieurs sur le problème de Lehmer généralisé à \(\mathbb{G}_m^n\), il en déduisent une remarquable minoration de la hauteur normalisée et du minimum essentiel d'une sous-variété algébrique \(V\) de \(\mathbb{G}_m^n\), définie sur \(\mathbb{Q}\) et \(\mathbb{Q}\)-irréductible, qui n'est pas réunion de variétés de torsion: \[ \widehat{\mu}^{\text{ess}}(V)\geq c(n)\deg(V)^{\frac{1} {s-\dim(V)}}\cdot (\log(3 \deg(V)))^{-\kappa(s)} \] où \(s\) est la dimension du plus petit sous-groupe algébrique \(H\) contenant \(V\) et \(c(n)\) et \(\kappa(s)\) sont des réels \(>0\) effectivement calculables. Dans un travail plus récent ils remplacement l'expression \(\deg(V)^{\frac{1} {s-\dim(V)}}\) par l'indice d'obstruction de \(V\) dans \(H\) (plus petit degré d'un diviseur de \(H\) contenant \(V\)) et surtout ils enlèvent l'hypothèse de \(\mathbb{Q}\)-irréductibilité. Ceci fournit une minoration du minimum essentiel dont la dépendance en les invariants géométriques la variété est quasi optimale.
Mathematics Subject Classification ID: 11G50
Mathematics Subject Classification ID: 11G10
Mathematics Subject Classification ID: 11J95
Mathematics Subject Classification ID: 14G40
zbMATH DE Number: 1757279
zbMATH Keywords: essential minimum
zbMATH Keywords: multiplicative group
zbMATH Keywords: normalized height
reviewed by: Patrice Philippon
MaRDI profile type: Publication
full work available at URL: a:1012966409353
OpenAlex ID: W2526721212
description: scientific article; zbMATH DE number 1757279