Density of points with multiplicatively independent coordinates
Un théorème de S. Zhang compare le quotient de la hauteur d'une variété par son degré au minimum essentiel des hauteurs de ses points (plus grand réel \(\theta\) tel que l'ensemble des points de hauteurs \(<\theta\) ne soit pas Zariski dense). Les auteurs montrent que dans le cas de la hauteur normalisée d'une puissance du groupe multiplicatif, la même comparison tient lorsqu'on se restreint aux points à coordonnées multiplicativement indépendantes. Combinant ce résultat avec un de leurs résultats antérieurs sur le problème de Lehmer généralisé à \(\mathbb{G}_m^n\), il en déduisent une remarquable minoration de la hauteur normalisée et du minimum essentiel d'une sous-variété algébrique \(V\) de \(\mathbb{G}_m^n\), définie sur \(\mathbb{Q}\) et \(\mathbb{Q}\)-irréductible, qui n'est pas réunion de variétés de torsion: \[ \widehat{\mu}^{\text{ess}}(V)\geq c(n)\deg(V)^{\frac{1} {s-\dim(V)}}\cdot (\log(3 \deg(V)))^{-\kappa(s)} \] où \(s\) est la dimension du plus petit sous-groupe algébrique \(H\) contenant \(V\) et \(c(n)\) et \(\kappa(s)\) sont des réels \(>0\) effectivement calculables. Dans un travail plus récent ils remplacement l'expression \(\deg(V)^{\frac{1} {s-\dim(V)}}\) par l'indice d'obstruction de \(V\) dans \(H\) (plus petit degré d'un diviseur de \(H\) contenant \(V\)) et surtout ils enlèvent l'hypothèse de \(\mathbb{Q}\)-irréductibilité. Ceci fournit une minoration du minimum essentiel dont la dépendance en les invariants géométriques la variété est quasi optimale.
scientific article; zbMATH DE number 1757279