Algebraic and badly approximable power series over a finite field
Cet article présente une construction ingénieuse et générale de fractions continuées dans \(\mathbb F_q((T^{-1}))\). Les quotients partiels sont de degré 1 de sorte que les séries \(\Theta = \sum_{n\leq k}\theta_n T^n\) obtenues sont mal approchables au sens où elles satisfont (pour la valeur absolue ultramétrique habituelle) \(|\Theta - P/Q|\geq c^{te}/|Q|^2\) pour tout couple de polynômes \((P, Q)\) de \(\mathbb F_q[T]\) tel que \(Q\neq 0\), mais ces séries ne sont pas toutes algébriques de degré 2 sur \(\mathbb F_q(T)\). Les travaux précédents de \textit{L. E. Baum} et \textit{M. M. Sweet} [Ann. Math. (2) 103, 593--610 (1976; Zbl 0312.10024) et ibid. 105, 573--588 (1977; Zbl 0352.10017)], \textit{W. H. Mills} et \textit{D. P. Robbins} [J. Number Theory 23, 388--404 (1986; Zbl 0591.10021)], \textit{A. Lasjaunas} [Acta Arith. 95, 139--165 (2000; Zbl 0972.11061)] donnaient de tels exemples, mais seulement pour des \(q\) premiers, alors qu'ici la construction est valable pour tous les \(q=p^s\).
scientific article; zbMATH DE number 1763663