On generic polynomials for the modular 2-groups
Für einen Körper \(K\) und eine endliche Gruppe \(G\) wird ein Polynom \[ f(x,t_1,\dots, t_n)\in K[X, T_1,\dots, T_n] \] \(G\)-generisch bez. \(K\) genannt, falls 1) die Galoisgruppe von \(f(x, t_1,\dots, t_n)\) über \(K(T_1,\dots, T_n)\) zu \(G\) isomorph ist und 2) jede Galoissche Erweiterung eines \(K\) umfassenden Körpers \(L\) mit \(G\) als Galoisgruppe als Zerfällungskörper über \(L\) eines spezialisierten Polynoms \(f(x, \ell_1,\dots, \ell_n)\), \(\ell_1,\dots, \ell_n\in L\), erhalten werden kann. Die modulare 2-Gruppe \(\text{Mod}_{2^{n+2}}\) der Ordnung \(2^{n+2}\) ist die durch zwei Elemente \(a\) und \(b\) mit den Relationen \(a^{2^{n+1}}= b^2=1\), \(ab= ba^{1+2^n}\) erzeugte Gruppe. Für einen Körper \(K\), der eine von 2 verschiedene Charakteristik hat und eine primitive \(2^n\)-te Einheitswurzel enthält, wird ein explizites \(\text{Mod}_{2^{n+2}}\)-generisches Polynom bez. \(K\) konstruiert. Die Konstruktion beruht auf einer expliziten Lösung des sogenannten linearen Noetherschen Problems.
scientific article; zbMATH DE number 1775618
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