Catalan numbers, primes, and twin primes
type: Item
instance of: scholarly article
title: Catalan numbers, primes, and twin primes
zbMATH Open document ID: 1390.11017
DOI: 10.4171/EM/103
author: Christian Aebi
author: Grant Cairns
published in: Elemente der Mathematik
publication date: 2018-05-18T00:00:00Z
review text: Zusammenfassung: In dem Beitrag führen die beiden Autoren in interessante Zusammenhänge zwischen Primzahlen bzw. Primzahlzwillingen und Catalanschen Zahlen ein. Dazu erinnern wir daran, daß die \(n\)-te Catalansche Zahl durch \(C_n = \frac1{n+1} \binom{2n}{n}\) gegeben ist. Bekanntlich gilt nun für eine ungerade Primzahl \(p\) nach dem kleinen Fermatschen Satz \(2^p\equiv 2 \bmod p\). Hiervon gilt allerdings nicht die Umkehrung; deshalb wird eine natürliche Zahl \(n\), welche \(2^n\equiv 2 \bmod n\) erfüllt, Pseudoprimzahl genannt. Der Zusammenhang zwischen Catalanschen Zahlen und Primzahlen besteht in dem offenbar wenig bekannten Ergebnis, daß für eine Primzahl \(p\) die Beziehung \[ (-1)^{(p-1)/2}C_{(p-1)/2} \equiv 2\bmod p \] gilt. Wiederum ist die Umkehrung hiervon im Allgemeinen nicht richtig, und man wird entsprechend zum Begriff der Catalanschen Pseudoprimzahl geführt. In Analogie zu den beiden genannten Kriterien stellen die Autoren schließlich zwei notwendige, aber nicht hinreichende Kriterien für Primzahlzwillinge vor.
Mathematics Subject Classification ID: 11A41
Mathematics Subject Classification ID: 11B65
zbMATH DE Number: 6870047
zbMATH Keywords: pseudoprimes
zbMATH Keywords: Catalan numbers
zbMATH Keywords: twin primes
MaRDI profile type: Publication
full work available at URL: https://doi.org/10.4171/em/103
OpenAlex ID: W2074079652
description: scientific article; zbMATH DE number 6870047