Regulary lacunary sets and entire arithmetic functions
type: Item
instance of: scholarly article
title: Regulary lacunary sets and entire arithmetic functions
zbMATH Open document ID: 1068.30020
author: Michael Welter
published in: Journal of Number Theory
publication date: 2005-02-22T00:00:00Z
review text: Für unendliche Teilmengen \(X\) von \(\mathbb{Z}\) werde \(X_r:= \{x\in X: 0<|x|\leq r\}, \psi_X(r):=\# X_r\) und \(\overline{\Lambda}(X):= \overline{\lim}_{r\rightarrow \infty} (\psi_X(r)\log r)^{-1} \sum_{x\in X_r} \log|x|\) gesetzt. Man sagt weiter, \(X\) habe die Eigenschaft \((\ast)\), wenn es reelle \(\theta \, (>1)\) und \(T\) gibt mit \(\psi_X(r^\theta) \leq T\psi_X(r)+o(\psi_X(r))\) bei \(r\rightarrow \infty\); diese Eigenschaft erweist sich als mit \(\overline{\Lambda}(X)<1\) äquivalent. Damit zeigt Verf. folgenden \textit{Hauptsatz}: \(X\subset \mathbb{Z}\) habe die Eigenschaft \((\ast); \, f(z)\) sei eine ganze Funktion, die den Bedingungen \(f(X) \subset \mathbb{Z}\) und \(\log|f|_r \leq\gamma \psi_X(r)\log r\) für alle großen \(r\) genügt, wobei \(\gamma< \gamma_0(\theta,T):=\max_{B\in \mathbb{Z},B>1}(\theta-1-2\theta/B)/((B-1)\theta T)\) und \(|f|_r:=\max_{|z|=r} |f(z)|\) gelten. Dann ist \(f\) eine Polynomfunktion. Der Beweis verwendet entscheidend die von \textit{M. Laurent} [Astérisque 198-200, 209--230 (1991; Zbl 0762.11027)] in die analytische Transzendenztheorie eingeführten Interpolationsdeterminanten ebenso wie eine geeignete Version des Schwarzschen Lemmas. Mit diesen Hilfsmitteln gelingt der Nachweis der Existenz eines Hilfspolynoms \(F(z)\) in \(z\) und \(f(z)\) mit nicht sämtlich verschwindenden Koeffizienten, so dass \(F(X)=\{0\}\) gilt und \(\log|F|_r\) höchstens linear in \(\log|f|_r\) anwächst. Hieraus möchte man schließen, dass \(F(\mathbb{C})=\{0\}\) ist, also \(f\) eine (ganze) algebraische Funktion und somit eine Polynomfunktion. Zu diesem Zweck wird folgende \textit{Eindeutigkeitssatz} bewiesen: \(X\) habe die Eigenschaft \((\ast); F\) sei eine ganze Funktion mit \(F(X)=\{0\}\) und \(\log|F|_r\leq \gamma \psi_X(r)\log r\) mit positivem \(\gamma<(\theta-\overline {\Lambda}(X))/(\theta T)\). Dann ist \(F(\mathbb{C})=\{0\}\). Ein weiterer Satz zeigt, dass die Wachstumsvoraussetzung über \(f\) bzw. \(F\) im Haupt- bzw. Eindeutigkeitss…
reviewed by: Peter Bundschuh
Mathematics Subject Classification ID: 30D15
Mathematics Subject Classification ID: 11J81
zbMATH DE Number: 2136925
zbMATH Keywords: Integer-valued entire functions
zbMATH Keywords: Pólya's theorem
zbMATH Keywords: Gel'fond's theorem
zbMATH Keywords: Uniqueness theorems
zbMATH Keywords: Carlson's theorem
MaRDI profile type: Publication
full work available at URL: j.jnt.2004.06.008
OpenAlex ID: W2094571155
cites work: Sur les points où une fonction analytique prend des valeurs entières. (On the points where an entire function assumes entire values)
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cites work: Q4250941
cites work: Q4733921
DOI: 10.1016/J.JNT.2004.06.008
description: scientific article; zbMATH DE number 2136925