Regulary lacunary sets and entire arithmetic functions
Für unendliche Teilmengen \(X\) von \(\mathbb{Z}\) werde \(X_r:= \{x\in X: 0<|x|\leq r\}, \psi_X(r):=\# X_r\) und \(\overline{\Lambda}(X):= \overline{\lim}_{r\rightarrow \infty} (\psi_X(r)\log r)^{-1} \sum_{x\in X_r} \log|x|\) gesetzt. Man sagt weiter, \(X\) habe die Eigenschaft \((\ast)\), wenn es reelle \(\theta \, (>1)\) und \(T\) gibt mit \(\psi_X(r^\theta) \leq T\psi_X(r)+o(\psi_X(r))\) bei \(r\rightarrow \infty\); diese Eigenschaft erweist sich als mit \(\overline{\Lambda}(X)<1\) äquivalent. Damit zeigt Verf. folgenden \textit{Hauptsatz}: \(X\subset \mathbb{Z}\) habe die Eigenschaft \((\ast); \, f(z)\) sei eine ganze Funktion, die den Bedingungen \(f(X) \subset \mathbb{Z}\) und \(\log|f|_r \leq\gamma \psi_X(r)\log r\) für alle großen \(r\) genügt, wobei \(\gamma< \gamma_0(\theta,T):=\max_{B\in \mathbb{Z},B>1}(\theta-1-2\theta/B)/((B-1)\theta T)\) und \(|f|_r:=\max_{|z|=r} |f(z)|\) gelten. Dann ist \(f\) eine Polynomfunktion. Der Beweis verwendet entscheidend die von \textit{M. Laurent} [Astérisque 198-200, 209--230 (1991; Zbl 0762.11027)] in die analytische Transzendenztheorie eingeführten Interpolationsdeterminanten ebenso wie eine geeignete Version des Schwarzschen Lemmas. Mit diesen Hilfsmitteln gelingt der Nachweis der Existenz eines Hilfspolynoms \(F(z)\) in \(z\) und \(f(z)\) mit nicht sämtlich verschwindenden Koeffizienten, so dass \(F(X)=\{0\}\) gilt und \(\log|F|_r\) höchstens linear in \(\log|f|_r\) anwächst. Hieraus möchte man schließen, dass \(F(\mathbb{C})=\{0\}\) ist, also \(f\) eine (ganze) algebraische Funktion und somit eine Polynomfunktion. Zu diesem Zweck wird folgende \textit{Eindeutigkeitssatz} bewiesen: \(X\) habe die Eigenschaft \((\ast); F\) sei eine ganze Funktion mit \(F(X)=\{0\}\) und \(\log|F|_r\leq \gamma \psi_X(r)\log r\) mit positivem \(\gamma<(\theta-\overline {\Lambda}(X))/(\theta T)\). Dann ist \(F(\mathbb{C})=\{0\}\). Ein weiterer Satz zeigt, dass die Wachstumsvoraussetzung über \(f\) bzw. \(F\) im Haupt- bzw. Eindeutigkeitssatz zumindest in der Größenordnung best\-möglich ist. Eine Fülle von Anwendungen des Hauptsatzes auf Probleme über ganze ganzwertige Funktionen wird gegeben, die früher einzeln von verschiedenen Autoren hergeleitet wurden, insbesondere von \textit{J.-P. Bézivin}, etwa in [Acta Arith. 68, 11--25 (1994; Zbl 0823.11060)] oder [Ann. Fac. Sci. Toulouse Math. (6) 3, 313-334 (1994; Zbl 0829.11038)]. Aber auch Verschärfungen derartiger Resultate (etwa Théorème B (ii)) und gänzlich neue Ergebnisse (wie Corollaire 5 über \(f(n!)\)) sind enthalten.
scientific article; zbMATH DE number 2136925