Hexagonal webs and ray systems
Ein Strahlensystem \(S\) im Euklidischen Raum \(E^3\) sei über einem einfach-zusammenhängenden Gebiet \(G\) der \((u,v)\)-Ebene durch seine Mittenfläche \(P(u,v)\) und den Richtungseinheitsvektor \(e(u,v)\) seiner Geraden erklärt. Es sei \(M(u,v)\) die Mittenhüllfläche. \(\text{I}:= (d\overline e)^2\) bezeichne die erste und \(\text{III}:= (dP,dM,\overline e)\) die dritte quadratische Differentialform von \(S\). Unter den III-Hauptflächen von \(S\) versteht man nach \textit{N. K. Stephanidis} [Sitzungsber. Abt. II, Österr. Akad. Wiss., Math.-Naturwiss. Kl. 199, 53--57 (1990; Zbl 0718.53011)] diejenigen Regelflächen von \(S\), für die der Ausdruck \(1/D(u,v):= \text{III/I}\) Extremwerte annimmt. Es sei \(\Omega= 0\) die Differentialgleichung dieser Regelflächen. Zu einer vorgegebenen Funktion \(D^*(u,v)\) bzw. \(\zeta^*(u,v)\) erhält man die durch \(D^*\text{III-I}= 0\) bzw. \(\Omega-\zeta^*\text{I}= 0\) definierten \((1/D^*)\)-Regelflächen bzw. \(\zeta^*\)- Regelflächen von \(S\). In der vorliegenden Arbeit werden zwei notwendige und hinreichende Bedingungen dafür an\-ge\-ge\-ben, dass die III-Hauptflächen und jede Schar der \((1/D^*)\)-Regelflächen oder die \((1/D^*= H^*)\)-Regelflächen und jede Schar der \(\zeta^*\)-Regelflächen die Mittenfläche von \(S\) in einem Sechseckgewebe schneiden (\(H^*\) ist die gemischte mittlere Krümmung von \(S\)). Durch Spezialisierungen der Funktionen \(D^*\) und \(\zeta^*\) erhält man weitere Resultate.
scientific article; zbMATH DE number 2165799