Entire functions having a concordant value sequence
Zur Formulierung der Hauptresultate wird folgende Definition benötigt. Sei \(R\) ein kommutativer Ring mit Eins, \(Y\subset R\) und \(k\in{\mathbb{N}} := \{0,1,\ldots\}\). Eine Abbildung \(f: Y\to R\) heißt konkordant von der Ordnung \(k\) auf \(Y\) in \(R\), wenn es zu jedem \(\kappa\in\{0,\ldots,k\}\) und jeder Wahl \((y_0,\ldots,y_\kappa)\in Y^{\kappa+1}\) ein \(P\in R[t]\) gibt mit \(P(y_i)=f(y_i)\) für \(i=0,\ldots,\kappa\). Ist \(f\) konkordant von jeder Ordnung \(k\in{\mathbb{N}}\) auf \(Y\) in \(R\), so heißt \(f\) superkonkordant auf \(Y\) in \(R\). Mit \(X_a :=\{1,a,a^2,\ldots\}\), wobei \(a\in{\mathbb Z}, | a| \geq 2\) fixiert ist, gilt nun Satz 1: Sei \(k\in{\mathbb N}\). Dann gibt es eine ganze transzendente Funktion \(f\), konkordant von der Ordnung \(k\) auf \(X_a\) in \({\mathbb Z}\), für die \[ \limsup(\log| f| _r)/(\log r)^2 = 1/(4(1-\alpha_k)\log| a| )\tag \(*\) \] mit \(\alpha_k := 3\pi^{-2}\sum_{\kappa=1}^k\, \kappa^{-2}\) gilt. Ist andererseits \(f\) ganz, konkordant von der Ordnung \(k\) auf \(X_a\) in \({\mathbb Z}\) und gilt \((\ast)\) mit \(<\) statt =, so ist \(f\) ein Polynom. Hier und im Weiteren ist \(| f| _r := \max_{| z| =r}| f(z)| \) gesetzt. Für \(k=0\) ist dies eine schwache Version eines Resultats von \textit{A.O. Gel'fond} [Mat. Sb. 40, 42--47 (1933; Zbl 0007.12102)] und der Fall \(k=1\) hängt eng mit einem Ergebnis von \textit{J.-P.-Bézivin} [Ann. Fac. Sci. Toulouse, VI. Sér., Math. 3, 313--334 (1994; Zbl 0829.11038)] zusammen. \textit{G. Pólya's} [Rend. Circ. Mat. Palermo 40, 1--16 (1915; JFM 45.0655.02)] klassischer Satz über \(2^z\) ist im Fall \(k=0\) ein präziserer Vorläufer des folgenden Satzes 2: Sei \(k\in{\mathbb N}\) und \(f\) eine ganze Funktion, konkordant von der Ordnung \(k\) auf \({\mathbb N}\) in \({\mathbb Z}\), die \(\limsup(\log| f| _r)/r < \log(1+\exp(\sum^k_{\kappa=1}\, 1/\kappa))\) genügt. Dann existiert ein \(P\in{\mathbb Z}[t]\) mit \(f(n) = P(n)\) für alle \(n\in{\mathbb N}\). Der Fall \(k=1\) von Satz 2 ist Konsequenz eines Resultats von \textit{A. Perelli} und \textit{U. Zannier} [Boll. Unione Mat. Ital., V.Ser., 18 305--307 (1981; Zbl 0462.30018)]. Über Superkonkordanz beweist Verf. zwei Ergebnisse. Satz 3: Die ganze Funktion \(f\) sei superkonkordant auf \({\mathbb N}\) in \({\mathbb Z}\) und genüge \(\limsup| f| _r/\Gamma(r) < 1\), \(\Gamma\) die Eulersche Gammafunktion. Dann gibt es ein \(P\in{\mathbb Z}[t]\) mit \(f(n)=P(n)\) für alle \(n\in{\mathbb N}\). Satz 4: Die ganze Funktion \(f\) sei superkonkordant auf \(X_a\) (wie oben) in \({\mathbb Z}\) und genüge \(\limsup(\log| f| _r)/(\log r)^2 < 1/\log| a| \). Dann existiert ein \(P\in{\mathbb Z}[t]\) mit \(f(a^n) = P(a^n)\) für alle \(n\in{\mathbb N}\). Zu den Beweisen sagt Verf. an zwei Stellen ``The method of proof of the above results follows the same basic line of [Pólya, loc. cit.] and much of the subsequent work''.
scientific article; zbMATH DE number 1932075
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