Maß- und Integrationstheorie.
Das vorliegende Buch ist in acht Kapitel gegliedert: I. \(\sigma\)-Algebren und Borelsche Mengen, II. Inhalte und Maße, III. Meßbare Funktionen, IV. Das Lebesgue-Integral, V. Produktmaße, Satz von Fubini und Transformationsformel, VI. Konvergenzbegriffe der Maß- und Integrationstheorie, VII. Absolute Stetigkeit, VIII. Maße auf topologischen Räumen. Die Gliederung läßt erkennen, daß der Autor den klassischen Zugang zur Maß- und Integrationstheorie wählt. Dieser Zugang ist einerseits relativ elementar; andererseits gestattet er, mit dem Maß- und Integrationsproblem im Reellen als treibender Kraft, eine recht natürliche Einführung neuer Begriffe und Probleme. Die Gliederung liefert jedoch keine Hinweise auf die Besonderheiten und Vorzüge des Buches. Unter den Vorzügen ist an erster Stelle die überwältigende Reichhaltigkeit des dargestellten Materials zu nennen, wobei die Vielfalt der über die Grundlagen hinausweisenden Themen an dieser Stelle nur angedeutet werden kann: Hausdorff-Maße, funktionalanalytische Aspekte der \(L^p\)-Räume (Vollständigkeit, Dualraum von \(L^p\) für \(1\leq p<\infty\) im \(\sigma\)-endlichen Fall, \(L^p\) als Banach-Verband, \(L^1\) als Banach-Algebra), eingehende Untersuchung der Konvergenz von Folgen meßbarer Funktionen (Satz von Pratt, Satz von Scheffé), Werkzeuge für die Stochastik (Transformationsformeln, Gamma- und Beta-Funktionen, Dichte der Normalverteilung), absolutstetige Funktionen, verschiedene Versionen des Rieszschen Darstellungssatzes, und vieles mehr. Den krönenden Abschluß des Buches bildet ein Abschnitt über das Haarsche Maß, mit dem das Maßproblem im Reellen eine Lösung im Fall einer lokal-kompakten Hausdorffschen topologischen Gruppen erfährt. Angesichts der Reichhaltigkeit des Dargebotenen hat der Leser allerdings die Qual der Wahl: Vor allem für denjenigen, der sich in das Gebiet einarbeiten möchte, dürfte es oft schwierig sein zu entscheiden, ob er den (interessanten!) Abschweifungen von den Grundlagen folgen oder einen Teil (welchen?) des Textes ohne Verlust für das Folgende überspringen kann; das Problem besteht auch dann, wenn man das Kleingedruckte zunächst beiseite läßt. Hier wäre es hilfreich gewesen, wenn der Autor den Text etwas schärfer strukturiert hätte: Eine Möglichkeit bestünde in der strikten Trennung zwischen abstrakter Theorie und den Ergebnissen für Borel-Maße und speziell für das Lebesgue-Maß; eine andere Möglichkeit bestünde in der Darstellung der Strukturtheorie der \(L^p\)-Räume oder der Behandlung der Banach-Verbände in einem eigenen Kapitel (Bemerkung: Die Herleitung der Jordan-Zerlegung für signierte Maße über die Hahn-Zerlegung ist ein zählebiges historisches Kuriosum, das den Kern der Sache verdeckt: Jedes signierte Maß ist einseitig beschränkt, und daraus ergibt sich die Jordan-Zerlegung leicht mit Hilfe der in der Theorie der Vektor-Verbände üblichen Definition der positiven und negativen Variation.) Die Darstellung ist, abgesehen von einigen wenigen Unstimmigkeiten in der Notation, klar, verständlich und straff; dem Autor gelingt der Balanceakt zwischen den widersprüchlichen Ansprüchen, im Interesse der Studenten nicht zu knapp und im Interesse des Verlages möglichst kompakt zu schreiben. Neben der Ausleuchtung unterschiedlichster Aspekte der Maß- und Integrationstheorie besticht das Buch durch seine historische Perspektive: Der Autor schreibt keine Geschichte der Theorie, aber er motiviert beständig durch Zitate aus Arbeiten derjenigen Mathematiker, die zur Entwicklung der Theorie entscheidend beigetragen haben. In Verbindung mit 19 Kurzbiographien entsteht so ein lebendiges Bild von der Entstehung einer neuen und weitreichenden mathematischen Disziplin. In diesem Buch wird die Maß- und Integrationstheorie als ein zentrales Gebiet der Mathematik dargestellt, das insbesondere für die Funktionalanalysis und die Stochastik unentbehrlich ist; es hat daher zu Recht seinen Platz in der Reihe `Grundwissen Mathematik'. Vor allem für denjenigen, der über Grundkenntnisse bereits verfügt, ist es eine Quelle der Anregung und Bereicherung.
scientific article; zbMATH DE number 940598