Boundary value problems in domains with cuspidal points
L'auteur étudie le problème de Dirichlet pour le laplacien et le bilaplacien dans un domaine plan presentant un point de rebroussement. Plus précisement, si \(\Omega=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2\mid 0<x<\alpha\), \(0<y<x^\alpha\) avec \(\alpha>1\}\) et si on considère un changement de variables du à \textit{K. Ibuki} [J. Math. Kyoto Univ. 14, 54-71 (1974; Zbl 0281.35031)] alors on peut réduire le problème considéré au problème de Dirichlet dans une demibande infinie \(\Omega_0= \{(x,y)\in \mathbb{R}^2\), \(x>0\), \(0<y<1\}\). L'auteur démontre qui si \(f\in L^p(\Omega)\) alors la solution de \(\Delta u=f\) appartient à \(W^{2,p} (\Omega)\) (ce qui est nouveau pour \(p\neq 2\)). Ou étend ce resultat à un domaine-modèle dans \(\mathbb{R}^3\), \(Q=\Omega\times (0,\pi)\). Avec les mêmes techniques on démontre qui si \(u\) vérifie \(\Delta^2u=f\), avec \(f\in W^{-1,p} (\Omega)\) alors \(u\in W^{3,p}\) au voisinage du point de rebroussement. On donne aussi une application pour les équations de Navier-Stokes linéarisées près du point de rebroussement.
scientific article; zbMATH DE number 942768