Conformal vector fields on four-manifolds with negative scalar curvature
type: Item
instance of: scholarly article
title: Conformal vector fields on four-manifolds with negative scalar curvature
zbMATH Open document ID: 0949.53024
author: Matthew J. Gursky
published in: Mathematische Zeitschrift
publication date: 2000-02-01T00:00:00Z
review text: Pour une variété riemannienne compacte orientée de dimension 4 dont l'invariant de Yamabe est négatif, l'auteur met en évidence une hypothèse conformément invariante qui assure la non-existence de champs de vecteurs non triviaux définissant une transformation infinitésimale conforme. Cette hypothèse est \(\int|W^+|^2 dV<2\pi^2 (2\chi+3 \sigma) \). \(W^+\) est la partie self-duale du tenseur de Weyl, \(\chi\) la caractéristique d'Euler-Poincaré et \(\sigma\) la signature. Lorsqu'il existe un champ de vecteur conforme \(V\not\equiv 0\), si l'égalité des deux membres a lieu, alors le revêtement universel de la variété est \(\mathbb{R}\times \mathbb{H}_3\) où \(\mathbb{H}_3\) est l'espace hyperbolique de dimension 3; dans ce cas \(|W^+|= \chi= \sigma=0\). Pour la démonstration l'auteur considère la métrique conforme pour laquelle la courbure scalaire \(R=-1\). \(V\) est alors un champ de vecteur de Killing d'après \textit{A. Lichnerowicz} [Géométrie des groupes de transformations, Dunod, Paris (1958; Zbl 0096.16001)]. Il utilisera pour la preuve successivement l'inégalité \(|\nabla V|^2\geq 2\bigl|\nabla |V|\bigr|^2\) en un point où \(V\neq 0\) puis les formules de Weitzenböck et de Chern-Gauss-Bonnet.
Mathematics Subject Classification ID: 53C20
zbMATH DE Number: 1384388
zbMATH Keywords: Yamabe invariant
zbMATH Keywords: negative scalar curvature
zbMATH Keywords: conformal vector field
reviewed by: Thierry Aubin
MaRDI profile type: Publication
full work available at URL: s002090050514
OpenAlex ID: W2380597855
DOI: 10.1007/S002090050514
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description: scientific article; zbMATH DE number 1384388