Algebraic independence of certain numbers
type: Item
instance of: scholarly article
title: Algebraic independence of certain numbers
zbMATH Open document ID: 0943.11035
publication date: 2000-09-04T00:00:00Z
review text: Vorausgeschickt seien zwei Definitionen. \(\gamma := {b \over a} \omega\) mit teilerfremden \(a,b\in\mathbb{N}\) heißt ein streng rationales Vielfaches von \(\omega\in\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}\), wenn \(a\) alle Teilnenner des Kettenbruchs von \(\omega\) mit geradem Index teilt. Des weiteren sagt man, Irrationalzahlen \(\omega_1,\dots,\omega_t\in]0,1[\) mit Kettenbruch \(\omega_i =[0;a_{i1},a_{i2},\dots]\) für \(i=1,\dots,t\) genügen der Produktwachstumsbedingung (PWB), wenn es eine unendliche Teilmenge \(M\) von \(\mathbb{N}\) gibt derart, daß bei \(n \to\infty\), \(n\in M\) gilt: \[ \prod_{k\leq n+1} (\omega_{\mu k}+1) = o(\prod_{k\leq n+1} \omega_{\nu k}) \quad \text{für }1\leq\mu<\nu\leq t \] sowie \[ \prod_{k\leq n} (\omega_{\mu k}+1) = o(\prod_{k\leq n+1}\omega_{\nu k}) \quad \text{für }\mu,\nu = 1,\dots,t. \] Damit lassen sich die beiden Hauptsätze der vorliegenden Arbeit über die verallgemeinerte Hecke-Mahlersche Funktion \(f_{\omega,\gamma}(z,w):= \sum_{n=1}^\infty z^n \sum_{m=1}^{[n\omega+\gamma]} w^m\) folgendermaßen formulieren. 1. Genügen die Irrationalzahlen \(\omega_1,\dots,\omega_t\) der PWB und ist für jedes \(i = 1,\dots,t\) die Zahl \(\gamma_i\) ein streng rationales Vielfaches von \(\omega_i\) \((0<\gamma_i\leq \omega_i<1)\), so sind die Funktionswerte \(f_{\omega_i,\gamma_i}(\alpha_{ij},\theta_i)\) \((1\leq j\leq s(i), 1\leq i\leq t)\) algebraisch unabhängig, wenn alle auftretenden \(\alpha_{ij}, \theta_i\) algebraische Zahlen sind derart, daß \(0 <|\theta_i|\leq 1\), \(0 < |\alpha_{ij}|< 1\) gilt und kein Quotient \(\alpha_{i\mu}/\alpha_{i\nu}\) \((\mu\not= \nu)\) eine Einheitswurzel ist. 2. Die Irrationalzahl \(\omega\in]0,1[\) habe unbeschränkte Teilnennerfolge und \(\gamma\) (mit \(\gamma\leq\omega)\) sei ein streng rationales Vielfaches von \(\omega\). Seien \(\alpha_1,\dots,\alpha_t\) algebraische Zahlen mit \(0 < |\alpha_i|< 1\), so daß kein Quotient \(\alpha_i/\alpha_j\) \((i\not=j)\) eine Einheitswurzel ist; \(\theta\) sei algebrai…
reviewed by: Peter Bundschuh
Mathematics Subject Classification ID: 11J91
Mathematics Subject Classification ID: 11J85
zbMATH DE Number: 1385067
zbMATH Keywords: continued fractions
zbMATH Keywords: approximation methods
zbMATH Keywords: algebraic independence
zbMATH Keywords: generalized Hecke-Mahler function
author: Yonggao Chen
author: Yaochen Zhu
MaRDI profile type: Publication
full work available at URL: s10114-999-0082-4
OpenAlex ID: W1977780051
cites work: Q4182598
cites work: The Algebraic Independence of Certain Liouville Continued Fractions
cites work: Über eine Klasse reeller transzendenter Zahlen mit explizit angebbarer g-adischer und Kettenbruch-Entwicklung.
cites work: Evertse theorem in algebraic independence
cites work: The algebraic independence of certain transcendental continued fractions
cites work: An arithmetic property of Mahler's series
cites work: Q4952089
cites work: Q5520004
cites work: On the generating function of the integer part: \([n\alpha{}+ \gamma{}]\)
DOI: 10.1007/S10114-999-0082-4
published in: Acta Mathematica Sinica, English Series
description: scientific article; zbMATH DE number 1385067