Nonuniqueness of admissible solutions of Riemann initial value problems for a system of conservation laws of mixed type
Nach dem Massenerhaltungssatz werden die Geschwindigkeiten V (im Eulerschen) und s (im Lagrangeschen Bild) einer sich in einem Gas fortpflanzenden Schock-Welle durch \[ (1)\quad V=(v_ 2u_ 1-v_ 1u_ 2)/(u_ 1-u_ 2),\quad s=(v_ 2-v_ 1)/(u_ 1-u_ 2) \] gegeben, wobei \(u_ 1,u_ 2\) die spezifischen Volumina und \(v_ 1,v_ 2\) die Geschwindigkeiten der an der Schock-Unstetigkeit aneinandergrenzenden Fluid-Körper bedeuten. Eine weitere Einschränkung der sechs bisher genannten Bestimmungsstücke einer Schock-Welle liefert der Impulssatz \[ (2)\quad -s\cdot (v_ 2-v_ 1)=\sigma (u_ 2)-\sigma (u_ 1), \] wobei \(\sigma\) (u) den Druck des betrachteten Gases in Abhängigkeit von seinem spezifischen Volumen bedeutet. In der vorliegenden Arbeit wird nun statt des üblichen idealen Gases ein van der Waalssches Gas betrachtet. Auf die Tatsache, daß dann \(\sigma\) '(u) in einem gewissen Intervall (\(\alpha\),\(\beta)\) negativ wird, bezieht sich der Audruck ''mixed type'' im Titel der Arbeit. Freilich kommt die für \(u\in (\alpha,\beta)\) sich einstellende Elliptizität des entsprechenden Systems der gasdynamischen Gleichungen hier nicht zum Zuge, weil das Auftreten von in (\(\alpha\),\(\beta)\) liegenden u-Werten aus übergeordneten Stabilitätsgründen verboten ist. Stattdessen muß man mit Schocks rechnen, welche gleichzeitig eine Phasengrenze des betrachteten Gases darstellen. Mit einer sorgfältigen Analyse dieser neuerdings auch experimentell aufgefundenen Situation wird nun ein wesentlicher Teil der vorliegenden Arbeit bestritten: Für einen derartigen mit einer Phasengrenze einhergendenden Schock wird in Anlehnung an eine letztlich auf van der Waals selbst zurückgehende molekulare Theorie, welche das Hervortreten von normalerweise unmerklichen Kräften kurzer Reichweite in Zonen starker Dichtegradienten vorhersagt [vgl. etwa \textit{M. Klein}: The historical origins of the van der Waals equation. Physica 73, 28-47 (1974)], zusätzlich zu (1) und (2) eine vierte Gleichung in der Form \(u_ 2=\tilde u_ 2(u_ 1)\) hergeleitet, welche im Spezialfall \(v_ 1=v_ 2\) in die Maxwellsche ''equal area rule'' übergeht und daher natürlich auch an deren Fragwürdigkeit partizipiert [eine Skizze der mathematischen Aspekte der über hundertjährigen Geschichte dieses delikaten Problemkreises hat der Ref. kürzlich vorgelegt in Lect. Notes Math. 1032, 509-521 (1983; Zbl 0556.35111)]. Ein wesentliches Merkmal der auf diese Weise beschriebenen mit Unstetigkeiten behafteten Evolutionsprozesse (deren Zusammenhang mit den entsprechenden gasdynamischen Gleichungen viel stärker gelockert ist, als es die gern gebrauchte Bezeichnung als ''verallgemeinerte Lösung'' oder ''Distributions-Lösung'' vermuten läßt) besteht darin, daß die Feldgrößen u und v für genügend großes \(| x|\) konstant sind. Eine weitere Klasse von Prozessen (nun wirkliche Lösungen der gasdynamischen Gleichungen) mit derselben Eigenschaft wird durch die sogenannte ''centered rarefaction waves'' geliefert. Gilt nun zwar für die Menge aller Evolutionsprozesse auch nicht das Superpositionsprinzip, so kann man sich einen gewissen Vorrat an derartigen Prozessen doch ersatzweise durch geeignetes Aneinanderstückeln von Prozessen aus den beiden genannten Klassen verschaffen und dann zumindest die Frage diskutieren, ob der Cauchy- Operator (d.h. der Operator der Restriktion der Elemente des Vorrates auf die Gerade \(t=0)\) injektiv ist. Die zentrale Aussage der vorliegenden Arbeit, auf welche sich das Wort ''nonuniqueness'' in ihrem Titel bezieht, besteht nun darin, daß dies selbst in dem obenerwähnten nicht allzureichlichen Prozeß-Vorrat nicht der Fall ist. Die Frage, ob dieses Ergebnis eher zufällig (d.h. durch andersartige physikalische Annahmen vermeidbar) ist oder ob es, wie es eine Bemerkung des Autors in der Einleitung einer früheren Arbeit [J. Differ. Equations 46, 426-443 (1982; Zbl 0465.35063)] als Möglichkeit anklingen läßt, im Wesen der Sache liegt, bleibt in der vorliegenden Arbeit unerörtert.
viscosity-capillarity admissibility criterion
scientific article; zbMATH DE number 3992032