Nonuniqueness of admissible solutions of Riemann initial value problems for a system of conservation laws of mixed type
type: Item
instance of: scholarly article
title: Nonuniqueness of admissible solutions of Riemann initial value problems for a system of conservation laws of mixed type
zbMATH Open document ID: 0613.35048
DOI: 10.1007/BF00250844
author: Michael Shearer
published in: Archive for Rational Mechanics and Analysis
publication date: 1986-01-01T00:00:00Z
review text: Nach dem Massenerhaltungssatz werden die Geschwindigkeiten V (im Eulerschen) und s (im Lagrangeschen Bild) einer sich in einem Gas fortpflanzenden Schock-Welle durch \[ (1)\quad V=(v_ 2u_ 1-v_ 1u_ 2)/(u_ 1-u_ 2),\quad s=(v_ 2-v_ 1)/(u_ 1-u_ 2) \] gegeben, wobei \(u_ 1,u_ 2\) die spezifischen Volumina und \(v_ 1,v_ 2\) die Geschwindigkeiten der an der Schock-Unstetigkeit aneinandergrenzenden Fluid-Körper bedeuten. Eine weitere Einschränkung der sechs bisher genannten Bestimmungsstücke einer Schock-Welle liefert der Impulssatz \[ (2)\quad -s\cdot (v_ 2-v_ 1)=\sigma (u_ 2)-\sigma (u_ 1), \] wobei \(\sigma\) (u) den Druck des betrachteten Gases in Abhängigkeit von seinem spezifischen Volumen bedeutet. In der vorliegenden Arbeit wird nun statt des üblichen idealen Gases ein van der Waalssches Gas betrachtet. Auf die Tatsache, daß dann \(\sigma\) '(u) in einem gewissen Intervall (\(\alpha\),\(\beta)\) negativ wird, bezieht sich der Audruck ''mixed type'' im Titel der Arbeit. Freilich kommt die für \(u\in (\alpha,\beta)\) sich einstellende Elliptizität des entsprechenden Systems der gasdynamischen Gleichungen hier nicht zum Zuge, weil das Auftreten von in (\(\alpha\),\(\beta)\) liegenden u-Werten aus übergeordneten Stabilitätsgründen verboten ist. Stattdessen muß man mit Schocks rechnen, welche gleichzeitig eine Phasengrenze des betrachteten Gases darstellen. Mit einer sorgfältigen Analyse dieser neuerdings auch experimentell aufgefundenen Situation wird nun ein wesentlicher Teil der vorliegenden Arbeit bestritten: Für einen derartigen mit einer Phasengrenze einhergendenden Schock wird in Anlehnung an eine letztlich auf van der Waals selbst zurückgehende molekulare Theorie, welche das Hervortreten von normalerweise unmerklichen Kräften kurzer Reichweite in Zonen starker Dichtegradienten vorhersagt [vgl. etwa \textit{M. Klein}: The historical origins of the van der Waals equation. Physica 73, 28-47 (1974)], zusätzlich zu (1) und (2) eine vierte Gleichung in der Form \(u_ 2=…
Mathematics Subject Classification ID: 35L65
Mathematics Subject Classification ID: 35M99
Mathematics Subject Classification ID: 35A05
Mathematics Subject Classification ID: 35B40
Mathematics Subject Classification ID: 35L67
zbMATH DE Number: 3992032
zbMATH Keywords: nonuniqueness
zbMATH Keywords: admissible solutions
zbMATH Keywords: Riemann initial value problems
zbMATH Keywords: conservation laws of mixed type
zbMATH Keywords: phase transitions
zbMATH Keywords: van der Waals gas
zbMATH Keywords: shock wave solution
zbMATH Keywords: viscosity-capillarity admissibility criterion
zbMATH Keywords: Maxwell line
zbMATH Keywords: phase plane trajectories
zbMATH Keywords: travelling wave solutions
zbMATH Keywords: smooth
zbMATH Keywords: admissible
reviewed by: J. Walter
MaRDI profile type: Publication
cites work: Neck propagation
cites work: The propagation of phase boundaries in elastic bars
cites work: Admissibility criteria for shock wave solutions of a system of conservation laws of mixed type
cites work: Admissibility criteria for propagating phase boundaries in a van der Waals fluid
full work available at URL: https://doi.org/10.1007/bf00250844
OpenAlex ID: W2086688865
description: scientific article; zbMATH DE number 3992032