Progressing wave solutions to certain nonlinear mixed problems
type: Item
instance of: scholarly article
title: Progressing wave solutions to certain nonlinear mixed problems
zbMATH Open document ID: 0613.35050
DOI: 10.1215/S0012-7094-86-05307-X
author: Michael Beals
author: Guy Métivier
published in: Duke Mathematical Journal
publication date: 1986-01-01T00:00:00Z
review text: Die hier zur Besprechung vorliegende Arbeit hat es sich zum Ziel gesetzt, einen Beitrag zu leisten zur ''mikrolokalen'' Analyse der Singularitäten von Lösungen der nichtlinearen Wellengleichung. Da der Akzent bei den (übrigens mit erheblichem technischen Aufwand hergeleiteten) Ergebnissen auf ihrer Ähnlichkeit mit den entsprechenden Ergebnissen im linearen Fall ruht, so erscheint es am erhellendsten, mit der Beschreibung der letzteren zu beginnen: In seiner Arbeit ''Solutions de l'équation des ondes présentant des singularités sur une droite'' [C. R. Acad. Sci., Paris 250, 2980-2982 (1960)] ist es \textit{M. Zerner} gelungen, eine Lösung der Wellengleichung zu konstruieren mit der höchst bemerkenswerten Eigenschaft, daß zwar nicht der Träger dieser Lösung selbst, aber wenigstens ihr singulärer Träger mit der ''Weltlinie'' eines sich in dem betreffenden Medium fortpflanzenden Lichtsignals übereinstimmt, und dadurch der alten Idee des erst kürzlich verstorbenen \textit{L. de Broglie} [vgl. etwa ''La théorie de la double solution'' (1956; Zbl 0074.440)] von der Darstellung eines Elementarteilchens als Singularität einer dies Teilchen tragenden ''Führungswelle'' (''onde pilote'') wenigstens für den Fall des Photons mathematische Substanz zu verleihen. Diese Singularitäten-Kurven, welche [wie dies dann \textit{L. Hörmander} in Example 8.3.4 seiner ''Analysis of linear partial differential operators I'' (1983; Zbl 0521.35001) herausgearbeitet hat] in der Sprache der Mongeschen Theorie den Träger-Kurven gewisser zur entsprechenden Eikonalgleichung gehörender charakteristischer Streifen entsprechen, lassen sich durch geeignete Superposition zu Singularitäten-Flächen \(\Sigma\) zusammenfügen, wobei aber noch der Fall enthalten ist, daß die entsprechenden charakteristischen Streifen nicht tangential zu \(\Sigma\) verlaufen (man denke an eine ''geöffnete Jalousie''). Die (einer ''geschlossenen Jalousie'' entsprechenden) physikalisch relevanten Lösungen T entstehen erst dann, w…
Mathematics Subject Classification ID: 35L70
Mathematics Subject Classification ID: 35A20
Mathematics Subject Classification ID: 35L67
Mathematics Subject Classification ID: 35A27
Mathematics Subject Classification ID: 35A30
zbMATH DE Number: 3992034
zbMATH Keywords: progressing wave solutions
zbMATH Keywords: nonlinear mixed problems
zbMATH Keywords: propagation of singularities
zbMATH Keywords: smooth solutions
zbMATH Keywords: conormality
zbMATH Keywords: single characteristic hypersurface
zbMATH Keywords: characteristic completeness
zbMATH Keywords: microlocally
reviewed by: J. Walter
MaRDI profile type: Publication
cites work: Self-spreading and strength of singularities for solutions to semilinear wave equations
cites work: Q3345197
cites work: Reflection of singularities of one-dimensional semilinear wave equations at boundaries
cites work: Calcul symbolique et propagation des singularités pour les équations aux dérivées partielles non linéaires
cites work: Q3895871
cites work: Q3963412
cites work: Q3218552
cites work: Q5565377
cites work: Q4169199
cites work: Interaction of nonlinear progressing waves for semilinear wave equations
cites work: Q5685459
cites work: Singularities of solutions to semilinear wave equations
cites work: Propagation of singularities for semilinear hyperbolic equations in one space variable
cites work: Nonlinear microlocal analysis of semilinear hyperbolic systems in one space dimension
cites work: Q5185438
cites work: Q3721010
cites work: Mixed problems for hyperbolic equations. I: Energy inequalities
cites work: Mixed problems for hyperbolic equations. II: Existence theorems with zero initial datas and energy inequalities with initial datas
cites work: Q3900552
full work available at URL: s0012-7094-86-05307-x
OpenAlex ID: W1532490987
description: scientific article; zbMATH DE number 3992034