On configurations in translation planes of positive characteristic
Für eine affine Ebene und eine natürliche Zahl \(n\geq 2\) bezeichnet \((f_ n)_ a\) bzw. \((d_ n)_ a\) die Bedingung: Sind die Geraden \(A_ i\) parallel, so ist die n-te Potenz des Produktes von zwei bzw. drei Parallelprojektionen von \(A_ 0\) auf \(A_ 1\), \(A_ 1\) auf \(A_ 0\) bzw. von \(A_ 0\) auf \(A_ 1\), \(A_ 1\) auf \(A_ 2\), \(A_ 2\) auf \(A_ 0\) stets die Identität. Bei einer projektiven Ebene bezeichnet \((f_ n)\) bzw. \((d_ n)\) die Bedingung: \((f_ n)_ a\) bzw. \((d_ n)_ a\) gilt in jeder durch Weglassen einer Geraden entstehenden affinen Ebene. \((f_ 2)\) besagt gerade die Anti-Fano-Bedingung (hier ''Fano condition'' genannt): In jedem vollständigen Viereck sind die Diagonalpunkte kollinear. Es gilt \((f_ 2)_ a\Rightarrow (d_ 4)_ a\) und daher \((f_ 2)\Rightarrow (d_ 4)\). Aus \((f_ 3)_ a\) folgt die Sechseckbedingung in jedem 3-Gewebe (aus 3 Parallelenbüscheln) der affinen Ebene. \((d_ 2)_ a\) kennzeichnet die Translationsebenen der Charakteristik 2 und daher \((d_ 2)\) die Moufang-Ebenen der Charakteristik 2.
scientific article; zbMATH DE number 3994411