Some identities involving the Riemann zeta-function. II
[Part I, see the first author and \textit{A. Siva Rama Sarma}, ibid. 10, 602-607 (1979; Zbl 0399.10003).] Die Autoren untersuchen Ausdrücke der Form \(f*g(2n)\) mit \(f,g\in \{\zeta,{\bar \zeta},\sigma,{\bar \sigma},t,\bar t\}\) und \(f*g*h(2n)\) mit \(f,g,h\in \{\zeta,\sigma,t\}.\) Hierbei bedeuten \(\zeta (s)=\sum^{\infty}_{n=1}n^{-s}\) die Riemannsche Zeta-Funktion, \(\sigma (s)=(1-2^{1-s})\zeta (s),\quad t(s)=(\zeta (s)+\sigma (s)),\quad \bar f(2n)=(2n-1)f(2n)\) und \(f*g(2n)=\sum^{n- 1}_{k=1}f(2k)g(2n-2k).\) Dies führt zu Gleichungen der Art \(\zeta *{\bar \zeta}(2n)=(n-1)(2n+1)\zeta (2n)\) \[ 4\sum_{a+b+c=n, a,b,c\geq 1}\zeta (2a)\zeta (2b)\zeta (2c)=4\zeta *\zeta *\zeta (2n)=(n+1)(2n+1)\zeta (2n)-6\zeta (2)\zeta (2n-2). \] Die Beweise stützen sich auf Identitäten in Ableitungen und Potenzen von cot \(\pi z=1/z-2\sum^{\infty}_{n=1}\zeta (2n)z^{2n-1}\) sowie den Gleichungen \(\overline{f*g}=f*g+f*\bar g+\bar f*g\), \(f*\bar f(2n)=(n-1)f*f(2n)\).
scientific article; zbMATH DE number 3993676