Birational invariants of rational surfaces
Soit k un corps parfait infini, \(\bar k\) une clôture algébrique, \(G=Gal(\bar k/k)\), X une k-surface rationnelle projective et lisse k- minimale, \(d=(\omega_ X.\omega_ X)\). L'action de G sur le groupe \(Pic(\bar X)\) définit un homomorphisme \(G\to W\), où W est le sous- groupe des automorphismes de \(Pic(\bar X)\) qui respectent la forme d'intersection et laissent fixe \(Pic(X)\). Comme l'ont montré \textit{Yu. I. Manin} [Math. USSR, Sb. 1 (1976), 141-168 (1968; traduction par Mat. Sb., Nov. Ser. 72 (114), 161-192 (1967; Zbl 0182.237) et \textit{B. Eh. Kunyavskij} et \textit{M. A. Tsfasman} [Math. USSR, Izv. 24, 583-603 (1985); traduction par Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Mat. 48, No.3, 631-654 (1984; Zbl 0556.14027)], le groupe W s'identifie à un groupe de Weyl. Pour les surfaces fibrées en coniques, il s'agit de \(W(D_{8-d})\)- cette identification dépendant d'un certain marquage (choix d'éléments de \(Pic(\bar X)\). L'action de G se factorise par un plongement \(G_ X=Gal(K_ X/k)\hookrightarrow W\), ce qui définit le corps de décomposition \(K_ X\) de X. Dans la première partie de l'article, l'auteur remarque que les résultats de Manin et \textit{V. A. Iskovskikh} [Math. USSR, Izv. 14, 17- 39 (1980; traduction par Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Mat. 43, 19-43 (1979; Zbl 0412.14012)] sur la classification k-birationnelle des k-surfaces rationnelles ont les conséquences intéressantes suivantes: (1) Pour \(d\leq 4\), l'entier d, le rang de Pic(X) et le corps de décomposition sont des invariants k-birationnels des k-surfaces rationnelles k-minimales. (NB: En utilisant les mêmes arguments on peut en fait montrer que le G-module \(Pic(\bar X)\) est un invariant k- birationnel.) (2) Si X et X' sont des surfaces fibrées en coniques relativement k- minimales et k-birationnellement équivalentes, et \(d_ X\leq 4\), alors les sous-groupes \(G_ X\) et \(G_ X\) de \(W(D_{8-d})\) diffèrent par un automorphisme de \(W(D_{8-d})\) induit par un automorphisme du système de racines \(D_{8-d}.\) La seconde partie de l'article analyse les automorphismes possibles en (2). Pour d impair, ils sont tous intérieurs. Il en résulte que pour une surface de Del Pezzo X de degré 4 avec \(Pic(X)={\mathbb{Z}}\), la classe de conjugaison de \(G_ X\subset W(D_ 5)\) à conjugaison près ne dépend que de la classe de X à k-équivalence birationnelle près. Pour étudier le cas des surfaces fibrées en coniques avec \(d=4\), l'auteur dégage une notion de marquage ''régulier''. Les surfaces de Del Pezzo de degré 4 font l'objet d'un mémoire détaillé de \textit{B. Eh. Kunyavskij}, \textit{M. A. Tsfasman} et l'A. (à paraître dans Mém. Soc. Math. Fr., Nouv. Sér.).
scientific article; zbMATH DE number 3995853