Regularity of the Bergman projection and local geometry of domains
Es sei D ein Gebiet im \({\mathbb{C}}^ n\) mit glattem Rand und P die orthogonale Projektion von \(L^ 2(D)\) auf den Unterraum der quadratintegrierbaren holomorphen Funktionen; P heißt die Bergman- Projektion von D. Es gilt folgende lokale Aussage: Zu jedem Randpunkt p von D und jeder natürlichen Zahl k gibt es ein Gebiet \(D_ k\subset D\) mit glattem Rand, eine Umgebung \(U_ k\) von p im \({\mathbb{C}}^ n\) mit \(U_ k\cap D=U_ k\cap D_ k\), so daß die zu \(D_ k\) gehörende Bergman-Projektion den Sobolev-Raum \(W_ k(D_ k)\) in sich abbildet. Diese Aussage wird hergeleitet aus dem Satz: Wenn auf D ein Vektorfeld X existiert, das nirgends tangential zum Rand von D verläuft, so bildet die zu D gehörende Bergman-Projektion gewisse Sobolev-Räume \(W^ k(D)\) in sich ab. Damit lassen sich dann Aussagen über die Fortsetzbarkeit biholomorpher Abbildungen auf den Rand beweisen: Es seien \(D_ 1\), \(D_ 2\) glatt berandete Gebiete im \({\mathbb{C}}^ n\) und \(F: \overline{D_ 1}\to \overline{D_ 2}\) eine topologische Abbildung, die in \(D_ 1\) holomorph ist. Weiter seien \(p_ 1\), \(p_ 2\) Randpunkte von \(D_ 1\) bzw. \(D_ 2\) und \(F| D_ 1\setminus \{p_ 1\}\to D_ 2\setminus \{p_ 2\}\) sei diffeomorph. \(F: \overline{D_ 1}\to \overline{D_ 2}\) ist dann ein Diffeomorphismus, wenn eine der folgenden Bedingungen erfüllt ist: F und \(F^{-1}\) sind Hölder-stetig oder \(D_ 1\), \(D_ 2\) sind in \(p_ 1\), \(p_ 2\) pseudokonvex oder die Ränder von \(D_ 1\), \(D_ 2\) sind in \(p_ 1\), \(p_ 2\) analytisch.
scientific article; zbMATH DE number 3996106
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