Dedekind-like behavior of rings with 2-generated ideals
type: Item
instance of: scholarly article
title: Dedekind-like behavior of rings with 2-generated ideals
zbMATH Open document ID: 0616.13008
DOI: 10.1016/0022-4049(85)90086-6
author: Lawrence S. Levy
author: Roger Wiegand
published in: Journal of Pure and Applied Algebra
publication date: 1985-01-01T00:00:00Z
review text: Ein kommutativer Ring R ohne nilpotente Elemente wird ein Bass Ring genannt, falls der ganze Abschluß \(\bar R\) im vollen (klassischen) Quotientenring K ein endlich erzeugter R-Modul ist und jedes Ideal von R durch zwei Elemente erzeugt werden kann. Unter einem ''R-Gitter'' M wird ein endlich erzeugter R-Untermodul eines K-Moduls verstanden. Es existiert ein durch \(K\epsilon (M)=Ann(K,KM)\) eindeutig bestimmtes idempotentes Element \(\epsilon(M)\). Jedes Gitter M über einem Bass Ring R hat eine Zerlegung \(M=I_ 1\oplus...\oplus I_ n,\quad wo\) \(I_ j\), \(1\leq j\leq n\), ein Ideal von R ist. Unter cl(M) wird die Isomorphieklasse vom Produkt \(\prod_{1\leq j\leq n}(I_ j\oplus R\epsilon (I_ j))\) verstanden. Das Hauptergebnis der vorliegenden Arbeit besagt, daß zwei R-Gitter M und N über einem Bass Ring R genau dann isomorph sind, wenn \(cl(M)=cl(N)\) und \(M_{{\mathfrak m}}\cong N_{{\mathfrak m}}\) für jedes maximale Ideal \({\mathfrak m}\) von R gilt. Etliche Anwendungen werden hergeleitet. Das Geschlecht eines R-Gitters M ist die Klasse aller R- Gitter N, derart daß \(M_{{\mathfrak m}}\cong N_{{\mathfrak m}}\) für jedes maximale Ideal \({\mathfrak m}\) von R ist. Mittels des Hauptsatzes wird u.a. dargetan, daß die Menge der Isomorphieklassen in jedem Geschlecht eine natürliche Gruppenstruktur zuläßt und daß die entsprechende Gruppe ein homomorphes Bild der Picardschen Gruppe von R ist.
Mathematics Subject Classification ID: 13F05
Mathematics Subject Classification ID: 13E15
zbMATH DE Number: 3997950
zbMATH Keywords: genus of lattice
zbMATH Keywords: Picard groups
zbMATH Keywords: Bass Ring
reviewed by: Christian U. Jensen
MaRDI profile type: Publication
full work available at URL: 0022-4049(85)90086-6
OpenAlex ID: W1991222032
cites work: Q5562621
cites work: On the ubiquity of Gorenstein rings
cites work: Q5569560
cites work: Q5521585
cites work: Commutative rings with restricted minimum condition
cites work: Q3922829
cites work: Krull-Schmidt and cancellation over local rings
cites work: Q5602063
cites work: Power-cancellation of groups and modules
cites work: On the two generator problem for the ideals of a one-dimensional ring
cites work: Algebras over zero-dimensional rings
cites work: Propinquity of one-dimensional Gorenstein rings
cites work: Q4143433
cites work: Genera and decompositions of lattices over orders
cites work: Modules Over Dedekind Rings and Valuation Rings
cites work: Krull-Schmidt uniqueness fails dramatically over subrings of Z\(\oplus\dots \oplus Z\)
cites work: Modules over Dedekind-like rings
cites work: \({\mathbb{Z}}G_ n\)-modules, \(G_ n\) cyclic of square-free order n
cites work: Q5735274
cites work: Free exterior powers
cites work: Algebraic \(K\)-theory
cites work: Stable rings
cites work: Q5522293
cites work: Cancellation over commutative rings of dimension one and two
description: scientific article; zbMATH DE number 3997950