A Harnack type inequality for certain complex Monge-Ampère equations
Sur une variété kählérienne compacte \((V_{2n},g)\) à 1ère classe de Chern \(C_ 1(V)>0\), on considère la famille d'équations \(E_ t: \log M(\phi)=f-t\phi.\) Si on sait la résoudre pour \(t\in]0,1]\), elle permet de mettre en évidence une metrique d'Einstein- Kähler. Ici \(\phi\) est admissible \((i.e.\quad g'_{\lambda {\bar \mu}}=g_{\lambda {\bar \mu}}+\partial_{\lambda {\bar \mu}}\phi\) est définie positive), \(M(\phi)=\det ((1+\nabla^{\mu}_{\lambda}\phi))\) et \(R_{\lambda {\bar \mu}}=g_{\lambda {\bar \mu}}+\partial_{\lambda {\bar \mu}}f\) car on a choisi la 1 forme fondamentale \(W_ g\in C_ 1(V)\). Soit \(\phi_ t\) la solution de \(E_ t\) si elle existe \((t>0)\), l'A. montre que toute fonction \(\psi \in C^ 2\) admissible, normée par \(\int e^{f-t\psi} dV=\int dV=V,\) vérifie \(-\int (\phi_ t- \psi)M(\phi_ t)dV\leq nV \sup (\phi_ t-\psi)\) et \(\inf (\phi_ t- \psi)\leq n \sup (\phi_ t-\psi)+C(t)\) où C(t) est une constante. Si la variété est d'Einstein, \(f=0\), et pour \(t=1\), \(\phi_ 1=0\) d'où l'A. en déduit \(\sup \psi \leq -n \inf \psi +C\) si \(\int e^{- \psi} dV=V.\) L'A. nous dit que C est une constante universelle, pourtant elle doit dépendre qu'en même de la dimension n. D'autre part la 1ère partie du Théorème 1 n'a pas de sens pour \(t=0\). L'A. utilise essentiellement des articles de T. Aubin et de Bando-Mabuchi, ainsi que des estimés uniformes, concernant les constantes de Sobolev, obtenues par différents auteurs.
scientific article; zbMATH DE number 4115465