Projectively invariant classes of geometric continuity for CAGD
type: Item
instance of: scholarly article
title: Projectively invariant classes of geometric continuity for CAGD
zbMATH Open document ID: 0684.65011
DOI: 10.1016/0167-8396(89)90031-9
author: Helmut Pottmann
published in: Computer Aided Geometric Design
publication date: 1989-01-01T00:00:00Z
review text: Vor dem Hintergrund der einschlägigen CAGD-Literatur wird das Problem der geometrischen Stetigkeit segmentierter Kurven (insbesondere die Berührung r-ter Ordnung \(VC^ r\) und die Krümmungsstetigkeit \(GC^ r)\) aus projektiver Sicht diskutiert. Entscheidend für diese Fragen sind bei einer Kurve c des reellen projektiven Raumes \({\mathbb{P}}^ d\) mit durchweg linear unabhängigen Ableitungspunkten \(c^{(1)},...,c^{(k)}\) \((k<d-1)\) die in jedem Kurvenpunkt c(t) von \(c(t),...,c^{(k)}(t)\) aufgespannten k-Schmiegräume; sie erzeugen eine \((k+1)\)-Regelfläche, die k-Tangentenfläche von c. Die 0- Tangentenfläche ist die Kurve selbst, die 1-Tangentenfläche ist ihre gewöhnliche Tangentenfläche. Davon ausgehend wird einer segmentierten Kurve \(c\subset {\mathbb{P}}^ d\), deren i-Tangentenfläche für \(i=0,...k\) zur Klasse \(VC^{r_ i}\) gehört, die projektivinvariante geometrische Stetigkeitscharakteristik \([(0,r_ 0)(1,r_ 1)...(k,r_ k)]\) zugeordnet und an Beispielen diskutiert. Es zeigt sich, daß die Ordnungen \(r_ i\) den Ungleichungen \(r_ i-1\leq r_{i+1}\leq r_ i+1\) genügen müssen. Im Hinblick auf Anwendungen werden sodann affininvariante Bedingungen für verschiedene Typen geometrischer Stetigkeit an den Anschlußstellen von Kurvensegmenten unter Verwendung der Verknüpfungsmatrix formuliert. Die Kurven der Charakteristik [(0,r-2)(1,r-1)], die als \(TC^ r\)-Kurven bezeichnet werden, sind dabei von besonderem Interesse. Der wesentliche Inhalt der affininvarianten Bedingungen wird illustriert durch Algorithmen zu folgendem Problem: Ein Kurvensegment \(c_-\) von hinreichend hoher Differenzierbarkeitsklasse sei gegeben; gesucht ist eine Bézierkurve \(c_+\), die in einem Endpunkt von \(c_-\) mit vorgeschriebener geometrischer Stetigkeit an \(c_-\) anschließt. Alle dazu angegebenen Algorithmen \((VC^ r\)-,GC\({}^ r\)- und \(TC^ r\)- Algorithmus) werden durch Abbildungen veranschaulicht und gelten in Räumen beliebiger Dimension. Es folgen euklidische Kennzeichnungen geometris…
Mathematics Subject Classification ID: 65D15
Mathematics Subject Classification ID: 65D07
Mathematics Subject Classification ID: 51N05
Mathematics Subject Classification ID: 53A04
Mathematics Subject Classification ID: 53A15
Mathematics Subject Classification ID: 53A20
zbMATH DE Number: 4121276
zbMATH Keywords: computer aided geometric design
zbMATH Keywords: algorithms
zbMATH Keywords: geometric continuity
zbMATH Keywords: projective invariance
zbMATH Keywords: splines
zbMATH Keywords: Bézier curves
reviewed by: Oswald Giering
MaRDI profile type: Publication
full work available at URL: 0167-8396(89)90031-9
OpenAlex ID: W2002355661
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description: scientific article; zbMATH DE number 4121276