Projectively invariant classes of geometric continuity for CAGD
Vor dem Hintergrund der einschlägigen CAGD-Literatur wird das Problem der geometrischen Stetigkeit segmentierter Kurven (insbesondere die Berührung r-ter Ordnung \(VC^ r\) und die Krümmungsstetigkeit \(GC^ r)\) aus projektiver Sicht diskutiert. Entscheidend für diese Fragen sind bei einer Kurve c des reellen projektiven Raumes \({\mathbb{P}}^ d\) mit durchweg linear unabhängigen Ableitungspunkten \(c^{(1)},...,c^{(k)}\) \((k<d-1)\) die in jedem Kurvenpunkt c(t) von \(c(t),...,c^{(k)}(t)\) aufgespannten k-Schmiegräume; sie erzeugen eine \((k+1)\)-Regelfläche, die k-Tangentenfläche von c. Die 0- Tangentenfläche ist die Kurve selbst, die 1-Tangentenfläche ist ihre gewöhnliche Tangentenfläche. Davon ausgehend wird einer segmentierten Kurve \(c\subset {\mathbb{P}}^ d\), deren i-Tangentenfläche für \(i=0,...k\) zur Klasse \(VC^{r_ i}\) gehört, die projektivinvariante geometrische Stetigkeitscharakteristik \([(0,r_ 0)(1,r_ 1)...(k,r_ k)]\) zugeordnet und an Beispielen diskutiert. Es zeigt sich, daß die Ordnungen \(r_ i\) den Ungleichungen \(r_ i-1\leq r_{i+1}\leq r_ i+1\) genügen müssen. Im Hinblick auf Anwendungen werden sodann affininvariante Bedingungen für verschiedene Typen geometrischer Stetigkeit an den Anschlußstellen von Kurvensegmenten unter Verwendung der Verknüpfungsmatrix formuliert. Die Kurven der Charakteristik [(0,r-2)(1,r-1)], die als \(TC^ r\)-Kurven bezeichnet werden, sind dabei von besonderem Interesse. Der wesentliche Inhalt der affininvarianten Bedingungen wird illustriert durch Algorithmen zu folgendem Problem: Ein Kurvensegment \(c_-\) von hinreichend hoher Differenzierbarkeitsklasse sei gegeben; gesucht ist eine Bézierkurve \(c_+\), die in einem Endpunkt von \(c_-\) mit vorgeschriebener geometrischer Stetigkeit an \(c_-\) anschließt. Alle dazu angegebenen Algorithmen \((VC^ r\)-,GC\({}^ r\)- und \(TC^ r\)- Algorithmus) werden durch Abbildungen veranschaulicht und gelten in Räumen beliebiger Dimension. Es folgen euklidische Kennzeichnungen geometrischer Stetigkeit, die im euklidischen Raum \({\mathbb{R}}^ d\) das Frenetsche d-Bein und die Krümmungen einer Kurve verwenden; dieser Typ wird mit \(FC^ r\) bezeichnet. Eine \(TC^ 3\)-Kurve läßt sich nun als eine \(FC^ 3\)- Kurve mit stetiger erster konischer Krümmung charakterisieren. Es folgen weiter Anwendungen auf das bekannte CAGD-Problem, eine glatte und optisch gefällige Kurve durch endlich viele Kontrollpunkte zu legen. Abschließend wird dargelegt, daß bei Flächen eines 3-Raumes nur der durch die Berührung r.Ordnung geprägte Begriff der geometrischen Stetigkeit besteht.
scientific article; zbMATH DE number 4121276
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