Compactly embedded Cartan algebras and invariant cones in Lie algebras
type: Item
instance of: scholarly article
title: Compactly embedded Cartan algebras and invariant cones in Lie algebras
zbMATH Open document ID: 0685.22004
DOI: 10.1016/0001-8708(89)90036-4
author: Joachim Hilgert
author: Karl H. Hofmann
published in: Advances in Mathematics
publication date: 1989-01-01T00:00:00Z
review text: Das Hauptziel der Arbeit ist es, spitze abgeschlossene Kegel W (mit Spitze im Nullpunkt) mit nicht-leerem Inneren in Lieschen Algebren \({\mathfrak g}\) zu beschreiben, welche zudem invariant unter der Gruppe der inneren Automorphismen von \({\mathfrak g}\) sind. Solche Kegel erhält man beispielsweise durch invariante Lorentzsche Formen auf \({\mathfrak g}\); die Algebren, welche derartige Formen zulassen, sind übrigens bekannt. Dabei bilden die sogenannten kompakt eingebetteten Cartanschen Unteralgebren eine Schlüsselrolle; eine Cartansche Unteralgebra \({\mathfrak h}\) von \({\mathfrak g}\) heißt kompakt eingebettet, wenn Exp ad \({\mathfrak h}\) relativ kompakt in Aut(\({\mathfrak g})\) ist. Die kompakt-eingebetteten Cartanschen Unteralgebren erhält man etwa folgendermaßen: Man wähle eine Liesche Gruppe G zu \({\mathfrak g}\) sowie einen maximalen Torus T im Abschluß von Ad(G) in Aut(\({\mathfrak g})\) und bilde die Liesche Algebra zu \(Ad^{-1}(T)\). Ist diese Algebra Cartansch, so ist sie eine kompakt eingebettete Cartansche Unteralgebra, und man erhält alle durch Variation von T, bzw. durch Konjugation der einen mit inneren Automorphismen. Ist sie es nicht, so gibt es keine. Die wesentliche Beobachtung ist, daß, sobald es Kegel W mit den o.g. Eigenschaften gibt, stets auch kompakt eingebettete Cartansche Unteralgebren existieren. Der tiefere Grund dafür ist, daß die Gruppe aller invertierbaren linearen Transformationen von \({\mathfrak g}\), welche W invariant lassen und einen gegebenen Punkt im Inneren von W stabilisieren, kompakt ist. In dem, rein materiell gesehen, größten Teil der Arbeit wird eine Theorie kompakt eingebetteter Cartanscher Unteralgebren entwickelt. Eine Schwierigkeit, die sich an der o.a. Beschreibung kompakt eingebetteter Cartanscher Unteralgebren bereits erahnen läßt, ist, daß die adjungierte Gruppe im allgemeinen nicht abgeschlossen zu sein braucht. Die Autoren fragen, ob das im vorliegenden Fall (ein invarianter Kegel existiert) überhaup…
Mathematics Subject Classification ID: 22E15
Mathematics Subject Classification ID: 17B45
Mathematics Subject Classification ID: 52A07
Mathematics Subject Classification ID: 22E60
Mathematics Subject Classification ID: 17B10
Mathematics Subject Classification ID: 17B65
Mathematics Subject Classification ID: 17B05
Mathematics Subject Classification ID: 06F20
Mathematics Subject Classification ID: 46A20
zbMATH DE Number: 4122246
zbMATH Keywords: Lie algebras
zbMATH Keywords: invariant cones
zbMATH Keywords: Cartan algebras
zbMATH Keywords: maximal tori
zbMATH Keywords: closures of linear Lie groups
zbMATH Keywords: adjoint representation
reviewed by: D. Poguntke
MaRDI profile type: Publication
full work available at URL: 0001-8708(89)90036-4
OpenAlex ID: W1999658897
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description: scientific article; zbMATH DE number 4122246